趣味数学常数pi和e的无穷级数表示

数学常数表

符号	值	名称
π	≈ 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288	圆周率
e	≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 66249	自然对数的底

pi无穷级数表示

对于x≠1且n≥0，有如下等比数列：

可以用归纳证明法来验证，计算当n=0和n=k 1时的表达式的值。

也可以令上式的左边表达式=S，两边同时系着以X，然后两个等式相减，化简后即可得到上式的右边表达式。

对于-1<x<1：

上式也是x=0时的泰勒级数。

如果我们将等比数列中的x替换成-x²，当1<x<1，时有：

y=arctanx的导数

对等式两边同时求不定积分（注意arctan0=0），就会得到：

令x趋近1，就会得到：

上式称为Leibniz定理。

π = 4*∑(-1)^n/(2n 1)，其中n=0,1,2,3,……,∞。

π常用的分数近似有：22/7，355/113，3927/1250，52163/16604。

e的无穷级数表示

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