破解伽利略悖论——利用导数证明可导函数图象的点有大小（2.续完），今天小编就来聊一聊关于三角函数平移原理动态演示?接下来我们就一起去研究一下吧!
三角函数平移原理动态演示
破解伽利略悖论——利用导数证明可导函数图象的点有大小（2.续完）
6 依据导数的结果做出正确的抉择
6.1 微积分中必须承认点有大小
由于这是对已经有“定论”的结果提出了不同意见，所以再详细的分析一下有好处。通常认为点是没有大小的。这已经是数学中的定论了。仔细研究，可以看出它包含两个假设，一是认为点只能定性的考察，二是隐含着这样的假设：无论在什么情况下，点的大小都是相同的。可是应用连续的一一对应的方法研究连续可导函数曲线的结果是：在具体的条件下，点是可以有大小之分的，需要具体情况具体分析。我们的认识与传统的认识发生了矛盾的，需要做出选择。
如何选择呢？
从平面几何的角度看，可以认为点是没有大小的，无差别的，因为它根本不研究、也无法研究点的大小。
可是从微积分的角度看，则是后者对，因为只有承认点有大小才能符合连续可导函数的一一对应的要求。
所以在这里我们应该取后者。
如果进一步讨论抛物线，则我们会发现上面的结论对函数曲线上的点也适用。因为一个显然的基本的事实是其弧线部分的长度大于对应的投影线段的长度。由此我们最终还会推出抛物线上面的点通常都大于坐标轴上面的对应的点。其实学过微积分的人都知道相应的表达式是
。
若从物理学方面考虑，如果它们是由同一种物质构成的，则它们的分子大小应该是相同的，于是它们上面的物理点（分子）显然不可能一一对应。
但是在数学中，必须要求达到函数与自变量的对应线段上的点与点的一一对应。这是数学的抽象化、理想化的要求。如果不能达到点与点的一一对应，则势必存在对应不上的点，于是函数变成了不连续的，而对于对应不上的点即多出来的（或少出来的）点显然无法进行研究。于是尽管有些对应的线段（或弧线等）的长度明显不同，但是从微积分的角度看，其上的点却可以而且必须是一一对应的。相应的结果就是点（0）可以而且必须有大小，有区别。所以这应该是微积分学的一个合理的、正确的、合乎逻辑的约定。当然在实际中我们不能、也不必要对所有的点都进行计算。但是这不意味着可以放弃对连续函数的图象的点与点一一对应的要求。值得特别强调的是这里的一一对应和Cantor讨论无穷大时的一一对应显然是有区别的。他研究的是分立量的一一对应，而微积分研究的是连续函数的一一对应。因此其结果会有不同。所以应该说，对一一对应原则也需要具体问题具体分析。
6.2 另外的例子进一步说明微积分中的点确实有大小
我们已经知道，微积分的运算特别是求导数的运算已经形式化了，但是其结果只能实事求是地理解。我们再看一个例子。
我们都知道，若
根据这个结果，则在点（1，1）处，随着n的不同，y‘可以等于1，2，3，…，以至于负数、分数，等等。
我们已经一再说明，点dy和dx的大小都是0，可是在（1，1）这同一个点处，它们的区别却这么大。乍看起来真叫人不可理解。可是如果我们联系到过（1，1）点的可导函数的这族曲线，则会接受这个说法，而且会发现这个说法是很自然的，很难反驳的。它们都通过（1，1）这同一个点，但是各个函数曲线却有着明显的区别。
有人可能还是想不通：X轴和Y轴都是实数轴，为什么上面的点的大小却不一样呢？我们再重复一遍：这其中的差别乃是基于函数以及相应的自变量。我们现在是研究它们的投影点。而它们的投影点的大小是基于函数的自变量与函数值的不同而推导出来的。当自变量与函数的数量都使用数轴上的区间来表示的时候，这两个区间的大小往往是不同的，差别通常是很明显的，可以直观地看出，人们也容易接受。而点有大小不过是这个现象的极限情况。如此而已。所以是连续可导函数引出了点有大小这个结果。
7 极坐标的情况的简要说明
让我们考虑极坐标中的两个同心圆，以说明其中点亦有大小。设有两个圆，圆心在极点，半径分别为
而且正好符合这个比例。由此不难推出这两个圆上的点的大小是不同的。当然这个结果也符合一一对应原则。还可以类似地应用极坐标来讨论两个对应的直线段等等上的点的大小，请读者自己思考。
在平面几何中定义圆是到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）。容易看出这里存在一个矛盾：一些没有大小的点组成了有长度的线段。所以不应该把点没有大小的观点绝对化。这应该是不言而喻的事情。从辩证法的观点看，不难理解在一定的条件下，没有大小的东西(准确地说，应该说是大小为0的东西)可以转化为有大小的东西。诚如一位哲人所言：“矛盾着的双方，依据一定的条件，各自向着相反的方向转化。”[5]形式逻辑不能解释无穷的推理过程，只能处理有限的过程。而我们在这里遇到的恰恰是无穷过程。只有借助唯物辩证法才能理解和把握。我们早就知道，线段不可能由有限多个点组成。只有无穷多个点才有可能组成线段。无穷多个点是组成线段的必要条件（但还不是充分条件）。
8 小结
本节具体地说明了二维空间中实无穷小量有大小，虽然它们的绝对值都是0。
有必要再一次强调：一个孤立的点P(x,y)就是一个点，不存在大小。只有在具体的条件下，即是当它位于某个连续可导函数y=f(x)的曲线上的时候，它才有大小。所以严格地说，是原始的函数决定了点的大小。这时的它不同于在平面几何中只能被定性地考察的点。
本节的观点很容易推广到三维的情况。当然这个结论不适用于不可导的函数。
值得一提的是牛顿曾经否认线段（直线）是由点组成的。他说：“我认为数学量是有连续运动给出的，而不是有非常小的部分构成的。线不是把最小最小的部分放在一起而成，而是由运动的点生成的，…”[6]。看来他已经觉察到分立量（离散量）和连续量是矛盾的，对立的。但是他没有认识到它们又是可以互相转化的。当然我们不应该苛求于他。在今天，我们做为辩证唯物主义者，应该懂得并且接受这个观点。
点有大小的结果进一步证明微积分是独特的数学分支。它不同于代数学。
注释
5 《矛盾论》，见《毛泽东选集》（一卷本）人民出版社1966年3月第1版315。
6 《数学珍宝》李文林主编 科学出版社1998年10月第1版283。
