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NO. 144
加法竖式
在上图的加法竖式中，不同的字母代表不同的数字，问一共有几种可能？
问题分析解答
本题答案为512。需要注意的是，由于题面是四位数加法，所以按照一般习惯，0不能出现在千位，但可以出现在其他数位。
由于和的四位数字都相同，不妨从 X 入手讨论：
1、考虑千位，显然X不可能是1、2。
2、如果X=3，那么A和E只能是1和2，且没有进位，这样B和F没法选，所以不行。
3、如果X=4，和的数字和为16，除以9余7，两个加数的数字和也要除以9余7，考虑0-9去掉4后数字和为41，那么加数的数字和只能是34，即不可能有7。
然后考虑个位，D加H要么是4，要么是14。
如果是4，D和H必须是1和3，这样C加G必须是14，进而B加F是3或是13，但可以发现这样不行。
如果是14，C加G可能是3、13，很明显13不行，所以必须是3，然后B加F只能是14，A加E是3。
这样我们就把8个数字分成4组，（0，3）、（1，2）、（5，9）、（6，8），且和为3的必须出现在千位和十位。
计数的时候，我们先考虑数组的位置选择，（0，3）只能在十位，（1，2）只能在千位，（5，9）、（6，8）位置可互换，有两种情况。
再考虑每个数组的两个数也可互换位置，这样会产生2的四次方，即16种可能，共计32种可能。
4、如果X=5，同上一种情况类似，要把2去掉，同理剩下8个数字只能分成以下4组，04、13、78、69，且和为4的必须出现在千位和十位。
接下来和上一步完全一样，也是32种可能。
5、如果X=6，需要去掉的数字恰好是6，这样剩下9个数字无法处理，故无解。
6、如果X=7，需要去掉1，再考虑8和9都大于7，所以它们得到的和必然产生进位，即要么产生16，要么产生17，16显然不可能，所以8和9必须一组，且不能在千位。
这样由于产生了进位，结合剩余数字都比较小来看，8和9前面的数位和只能是6，其他两组的和只能是7。
于是我们可以把这8个数字分成（0，6）、（2，5）、（3，4）、（8，9）四组，其中（0，6）和（8，9）相邻，且（0，6）在前，即（0，6）可以选择百位或十位，两种可能。（2，5）、（3，4）选择剩下的两个数位，由于可以互换，共两种可能。计有4种可能。
再考虑每个数组的两个数也可互换位置，这样会产生2的四次方，即16种可能，共计64种可能。
7、如果X=8，需要去掉5，然后考虑9，显然9必须和其他数字组成18或17，但这不可能，所以无解。
8、如果X=9，需要去掉0，由于其他数字不存在相加等于19的可能，所以不存在进位，只能分成（1，8）、（2，7）、（3，6）、（4，5）四组，考虑四组位置可任意，计有4！=24种可能。
再考虑每个数组的两个数也可互换位置，这样会产生2的四次方，即16种可能，共计384种可能。综上所述，X取值共4种情况，其中等于4有32种，等于5有32种，等于7有64种，等于9有384种。以上总计512种。
题友解答精选
◎题友 @李骁的解答：
加法竖式这道题将进位的魅力体现得淋漓尽致，最容易想到的当然是X=9时，18，27，36，45的搭配，一共有4×3×2×2*4=384（种），但是除了不进位的情况，还有进位的情况，考虑A～X为9个不同的数字，所以XXXX至少从3333开始，逐一讨论，发现XXXX=4444时，有3，14，3，14满足条件3=1 2，3=0 3，14=5 9，6 8；XXXX=5555时，有4，15，4，15满足条件，4=1 3，0 4，15=6 9，7 8；XXXX=7777时，有7，7，6，17和7，6，17，7两种情况满足条件，7=2 5，3 4，6=0 6，17=8 9，所以一共有（2 2 4 4×3×2）×2*4=512（种）
◎题友 @刘斌的解答：
因为一般习惯，假设最高位不能是0。 x=9时,1 8,2 7,3 6,4 5都是9,所以可交换，所以有4!*16=384组解。 x=8,6,3,2,1,均无解(略) x=7时，34,25,06,89组合可以有解。有4*16组解。 x=5时，必须借助进位。13,04,69,78组合，有32组解。 x=4时，借助进位。12,03,59,68组合。有32组解。 所以共有512组解。
本期答案整理：老王 编辑：子曰
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