题目:图1:直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=15,AC=20,AD是BC边上的高。分别以AB和AC为边向外作等边三角形ABE和ACF,求图中阴影部分的面积。
解法一:见图2,先证明△EBD∽△FAD, ∠EDF=90。
由题目已知AB=BE,AC=AF,Rt△ABD∽Rt△CAD,AB/AC=BD/AD,替换为BE/AF= BD/AD。
在△EBD和△FAD中,∠EBD=∠FAD(* #),BE/AF= BD/AD,对应边的比相等且夹角相等,故△EBD∽△FAD,ED/DF=EB/AF=15/20=3/4。
同时证明∠EDF=90,连接EF,得知△EDF为Rt△。
题目S阴影为S△EDF(1/2 ED·DF)减去S△EAF后可得。
如图3,G为等边△AFC中FC边之中点,连接AG可知E、A、G三点共线(30° 150°),△EGF为Rt△。 EF平方=10平方 (15 10根号3 )平方=625 300根号3 .
S△EAF=15x10x1/2=75.
设ED=3X,DF=4X,(3X)平方 (4X)平方= EF平方=625 300根号3
S阴影=1/2( 3X·4X)- S△EAF=75 72根号3 .
解法二:总体思路是阴影部分面积等于四边形EBCF面积(图4)减去三个空白三角形(EAF、EBD、FCD)的面积(图5)。
四边形EBCF面积=S△EAF S△EBA S△ABC S△AFC=225 100根号3 225/4根号3 。
(1):已知S△EAF=75。
(2):如图6,根据Rt△射影定理求出BD=9,DC=16
S△EBC=四边形EBCF面积-S△EFC=225 100根号3 225/4根号3 -(150 100根号3) =75 225/4根号3
S△EBD=9/25 S△EBC=9/25(75 225/4 根号3)=27 81/4根号3 .
(3):如图7,S△BCF=四边形EBCF面积-S△BEF=225 100根号3 225/4根号3 -1/2x15(15/2根号3 20)=75 100根号3 .
S△DFC=16/25 S△BCF=16/25(75 100根号3 )=48 64根号3 .
阴影部分面积=四边形EBCF面积-S△EAF- S△EBD- S△DFC=225 100根号3 225/4根号3 -75-(27 81/4根号3 )-(48 64 根号3)=75 72根号3