导线测量是目前工程平面控制测量贯常采用的形式。导线是由若干条直线连成的折线,每条直线叫导线边,相邻两直线之间的水平角叫做转折角。测定了转折角和导线边长之后,即可根据已知坐标方位角和已知坐标算出各导线点的坐标。按照测区条件和需要,导线可布置成附和导线、闭合导线、支导线、结点导线、导线网的形式,见图6-5-1~图6-5-6。导线测量也分内业和外业2大工作内容。

导线测量外业

导线测量的外业工作包括踏勘、选点、、埋石、造标、角度测量、边长测量、方向测定以及导线连接测量。

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(1)

图6-5-1 附和导线

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(2)

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(3)

图6-5-2 外伸式闭合导线 图6-5-3 内敛式闭合导线

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(4)

图6-5-4 支导线

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(5)

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(6)

图6-5-5 结点导线 图6-5-6 导线网

导线测量内业

导线测量内业的主要工作是根据外业观测数据计算出未知点的坐标。导线的布设形式不同其计算方法也不同,目前,结点导线、导线网人们通常借助计算机软件完成计算工作,附和导线、闭合导线、支导线因计算简单可通过人工计算完成,因此,本书主要介绍附和导线、闭合导线、支导线的计算方法。支导线没有检核条件、不存在不符值问题,其计算可以利用坐标反算、方位角的连续推算、坐标正算轻易完成,故本文不做过多介绍。

6.5.2.1 附和导线计算

见图6-5-1。已知点A、B、C、D4点坐标已知,βB、β1、β2、β3、β4、β5、βC为通过观测获得的转折角(左角,水平角),DB1、D12、D23、D34、D45、D5C为通过观测获得的导线边长(水平距离),欲通过计算获得未知点1、2、3、4、5点的最或然坐标。计算过程如下:

(1)反算首、尾方位角[αAB]、[αCD]

根据A、B、C、D4点坐标,利用坐标反算原理,反算AB、CD的方位角[αAB]、[αCD],应算2次,以免出错。

(2)计算各导线边的近似方位角αi(i 1)

从已知边AB开始,沿着A→B→1→2→3→4→5→C→D的顺序,按照方位角的连续推算原理,利用观测获得的转折角βi ,以首方位角 [αAB] 为基础,获得各导线边的近似方位角αi(i 1),直到αCD。计算公式为:

αi(i 1)=[(α(i-1)i+βi)±180°] (6-5-1)

由于观测获得的转折角βi包含误差,因此,根据βi推算的各导线边的方位角为近似方位角,且最后推算的已知边CD的方位角αCD肯定不等于它的真实方位角[αCD],αCD与[αCD]的差值反映的就是7个转折角βi的总误差,该总误差被称为方位角闭合差。

(3)计算导线的方位角闭合差ωα

计算公式为:

ωα=αCD-[αCD] (6-5-2)

测量工作中,对任何误差都规定有限差,方位角闭合差也不例外,若ωα超限说明某个(或某几个)转折角测量有错误、应重新测量。只有当ωα不超限时方可进行下一步计算。即要求:

│ωα│≤│ωαX│ (6-5-3)

ωαX见表 7-4-2。对三级导线

ωαX=±24″n1/2 (6-5-4)

式(6-5-4)中,n为测站数(或转折角的个数)。对图6-5-1来讲,n=7。

(4)计算各转折角βi的改正数vβi

方位角闭合差ωα是n个(图6-5-1为7个)转折角βi的总误差,由于测量时βi是等精度观测的,因此,n个转折角βi的误差是相等的,其改正数也应该相等,因此,各个转折角βi的改正数vβi均为

vβi=-ωα/n (6-5-5)

vβi的取位同βi,即βi取位到“″”、则vβi也取位到“″”,“″”以后的值进行凑整处理。处理方法同2.5.2.1之(2)。

vβi凑整处理后会带来一个方位角闭合差分摊不完全的问题,因此,必须求出方位角闭合差分摊后的残余误差δω(或残余改正量δvω),即

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(7)

(6-5-6)

若根据式(6-5-6)计算出的δvω=0则说明分摊完善,若δvω≠0则需要进行二次分摊。

当δvω≠0时δvω的值通常也都很小(数值在最小保留位数档,数目字远小于转折角个数),二次分摊的原则是将δvω拆单(拆成若干个1)按照βi值的大小由大到小顺序依次分摊、直到全部分摊完毕为止。比如图6-5-1计算的δvω=-3″(说明欠3″),则给最大的βi的改正数增加1″、给第二大的βi的改正数增加1″、给第三大的βi的改正数增加1″、其余βi的改正数不变。

这样,二次分摊后各βi的改正数就变成了vβi′,应再次校核一下:

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(8)

(6-5-7)

校核无误方可进行下一步计算。

(5)计算各转折角βi的最或然值βi′

计算公式为:

βi′=βi+vβi′ (6-5-8)

(6)计算各导线边的最或然方位角αi(i 1)′

从已知边AB开始,沿着A→B→1→2→3→4→5→C→D的顺序,按照方位角的连续推算原理,利用6.5.2.1之(5)计算的各转折角βi的最或然值βi′,以首方位角 [αAB] 为基础,获得各导线边的最或然方位角αi(i 1)′,直到αCD′。计算公式为:

αi(i 1)′=[(α(i-1)i′+βi′)±180°] (6-5-9)

由于此时的βi′已不包含误差,因此,根据βi′推算的各导线边的方位角为最或然方位角,且最后推算的已知边CD的最或然方位角αCD′肯定应该等于它的真实方位角[αCD],即:

αCD′=[αCD] (6-5-10)

若式(6-5-10)不满足要求,说明6.5.2.1之(6)或6.5.2.1之(5)计算过程有误,应重新认真计算。

(7)计算各导线边的近似坐标增量ΔXi(i 1) 、ΔYi(i 1)

利用观测获得的导线边长(水平距离)Di(i 1)和6.5.2.1之(6)计算的各导线边的最或然方位角αi(i 1)′进行,计算公式为:

ΔXi(i 1) = Di(i 1)×cosαi(i 1)′ (6-5-11)

ΔYi(i 1) = Di(i 1)×sinαi(i 1)′ (6-5-12)

由于观测获得的导线边长(水平距离)Di(i 1)包含误差,因此,根据Di(i 1)计算的各导线边的坐标增量ΔXi(i 1) 、ΔYi(i 1)为近似坐标增量,且由B到C的近似坐标增量之和肯定不等于C、B间的真实坐标之差,B到C的近似坐标增量之和与C、B间的真实坐标之差反映的就是6条观测导线边长(DB1、D12、D23、D34、D45、D5C)误差引起的坐标增量总误差,该总误差被称为坐标闭合差。坐标闭合差有2个,一个是横坐标(Y)闭合差fY、另一个是纵坐标(X)闭合差fX。

(8)计算坐标闭合差fY、fX

横坐标闭合差fY的计算公式是:

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(9)

(6-5-13)

纵坐标闭合差fX的计算公式是:

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(10)

(6-5-14)

由于导线有长有短,跟距离测量一样,对纵、横坐标闭合差fX、fY规定限差也是没有意义的。应该看其相对误差。

不难理解,fX、fY就是根据近似坐标增量ΔXi(i 1) 、ΔYi(i 1)算得的C点位置(称假C点)与C点真实位置的纵、横坐标差,假C点与真实C点的直线距离f即为导线的总闭合差(全长闭合差)。

(9)计算导线的总闭合差(全长闭合差)f

计算公式为:

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(11)

(6-5-15)

同样,导线有长有短,对总闭合差f规定限差也是没有意义的。应该看其相对误差。

(10)计算导线的总相对闭合差(全长相对闭合差)K

计算公式为:

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(12)

(6-5-16)

K不得超限。

若K超限则说明某个(或某几个)导线边长测量有错误、应重新测量。只有当K不超限时方可进行下一步计算。即要求

K≤KX (6-5-17)

KX见表 7-4-2。对三级导线

KX=1/6 000 (6-5-18)

(11)计算各导线边的近似坐标增量改正数vΔXi(i 1) 、vΔYi(i 1)

1)X坐标增量改正数vΔXi(i 1)的计算。fX是导线上各个边长测量误差综合作用产生的,导线边长越长对fX的影响越大,因此,其分摊的误差量也应该越大,故,各导线边的X坐标增量改正数与其导线边长成正比。因此,有:

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(13)

(6-5-19)

vΔXi(i 1)的取位同A、B、C、D坐标值,即A、B、C、D坐标取位到“mm”、则vΔXi(i 1)也取位到“mm”,“mm”以后的值进行凑整处理。处理方法同2.5.2.1之(2)。

vΔXi(i 1)凑整处理后会带来一个坐标闭合差fX分摊不完全的问题,因此,必须求出坐标闭合差fX分摊后的残余误差δx(或残余改正量δvx),即

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(14)

(6-5-20)

若根据式(6-5-20)计算出的δvx=0则说明分摊完善,若δvx≠0则需要进行二次分摊。

当δvx≠0时δvx的值通常也都很小(数值在最小保留位数档,数目字远小于测量导线边的个数),二次分摊的原则是将δvx拆单(拆成若干个1)按照vΔXi(i 1)值的大小由大到小顺序依次分摊、直到全部分摊完毕为止。比如图6-5-1计算的δvx=3mm(说明多分了3mm),则给最大的vΔXi(i 1)减少1mm、给第二大的vΔXi(i 1)减少1mm、给第三大的vΔXi(i 1)减少1mm、其余的vΔXi(i 1)不变。

这样,二次分摊后各vΔXi(i 1)就变成了vΔXi(i 1)′,应再次校核一下:

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(15)

(6-5-21)

校核无误方可进行下一步计算。

2)Y坐标增量改正数vΔYi(i 1)的计算。vΔYi(i 1)的计算方法同vΔXi(i 1)。计算公式为

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(16)

(6-5-22)

同样应处理残余误差δY(或残余改正量δvY),进行必要的二次分摊,获得vΔYi(i 1)′。

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(17)

(6-5-23)

最后也应再次校核一下计算结果,即:

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(18)

(6-5-24)

校核无误方可进行下一步计算。

(12)计算各导线边的最或然坐标增量ΔXi(i 1) ′、ΔYi(i 1)′

将6.5.2.1之(7)计算的各导线边的近似坐标增量ΔXi(i 1) 、ΔYi(i 1)加上6.5.2.1之(11) 计算的各导线边的近似坐标增量改正数vΔXi(i 1) ′、vΔYi(i 1)′即得各导线边的最或然坐标增量ΔXi(i 1) ′、ΔYi(i 1)′,计算公式为:

ΔXi(i 1)′= ΔXi(i 1)+vΔXi(i 1)′ (6-5-25)

ΔYi(i 1)′= ΔYi(i 1)+vΔYi(i 1)′ (6-5-26)

为了防止计算错误,应校核:

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(19)

(6-5-27)

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(20)

(6-5-28)

若式(6-5-27)、(6-5-28)不满足,则说明6.5.2.1之(12)部分计算有误,若经检查6.5.2.1之(12)部分计算正确则6.5.2.1之(1)部分计算有误。

(13)计算各导线点的最或然坐标Xi 1 ′、Yi 1′

计算公式为:

Xi 1 ′=Xi′+ΔXi(i 1)′ (6-5-29)

Yi 1′ =Yi′+ΔYi(i 1)′ (6-5-30)

从已知点B开始,沿着B→1→2→3→4→5→C的顺序进行计算,最后一对计算结果是C点的最或然坐标XC ′、YC′。C点的最或然坐标XC ′、YC′应该与其真实坐标XC 、YC相同,即:

XC ′= XC (6-5-31)

YC′ =YC (6-5-32)

式(6-5-31)、(6-5-32)不满足则说明6.5.2.1之(13)部分计算有误,应重新认真计算。

6.5.2.2 闭合导线计算

闭合导线的计算方法与附合导线完全相同,只须根据具体情况将6.5.2.1中的A、B、C、D点进行相应替换即可。图6-5-1与图6-5-2、图6-5-3的替换关系是:

(1)图6-5-1中的A就是图6-5-2中的A、同样也是图6-5-3中的A;

(2)图6-5-1中的B就是图6-5-2中的B、同样也是图6-5-3中的B;

(3)图6-5-1中的C就是图6-5-2中的B、同样也是图6-5-3中的A;

(4)图6-5-1中的D就是图6-5-2中的A、同样也是图6-5-3中的B。

图6-5-2、图6-5-3计算时只须按上述替换原则用相应A、B替换图6-5-1中C、D即可。

6.5.2.3 支导线计算

支导线内业计算只须进行6.5.2.1之(1)、(2)、(7)、(13)四步计算,不存在近似值和不符值的问题。

算例(附和导线)

仍见图6-5-1。导线精度为三级导线。已知点A、B、C、D四点坐标为XA=326751.593m、YA=541623.089m;XB=326183.152m、YB=542240.249m;XC=325098.299m、YC=542354.307m;XD=324430.580m、YD=541994.915m。转折角(左角,水平角)观测值βB=157°47′15″、β1=230°22′06″、β2=160°41′56″、β3=241°57′17″、β4=141°35′47″、β5=252°47′14″、βC=150°26′40″。导线边长(水平距离)测量值DB1=246.138m、D12=215.831m、D23=197.219m、D34=284.681m、D45=226.450m、D5C=301.811m。求未知点1、2、3、4、5点的最或然坐标。计算过程如下:

(1)反算首、尾方位角[αAB]、[αCD]

[αAB]=132°38′49″;[αCD]=208°17′27″。

(2)计算各导线边的近似方位角αi(i 1)

αB1=110°26′04″;α12=160°48′10″;α23=141°30′06″;α34=203°27′23″;α45=165°03′10″;α5C=237°50′24″;αCD=208°17′04″。

(3)计算导线的方位角闭合差ωα

ωα=αCD-[αCD]=-23″

对三级导线

ωαX=±

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(21)

=±63″

│ωα│≤│ωαX│,

故,转折角观测结果合格。

(4)计算各转折角βi的改正数vβi

vβi=-ωα/n=23″/7=3.28″=3″

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(22)

=3″×7-23″=-2″

故,vβ3=vβ5=3″ 1″=4″;vβB=vβ1=vβ2=vβ4=vβC=3″

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(23)

校核证明计算无误。

(5)计算各转折角βi的最或然值βi′

根据公式βi′=βi+vβi′,得各转折角(左角,水平角)的最或然值βi′。

βB′=157°47′18″;β1′=230°22′09″;β2′=160°41′59″;β3′=241°57′21″;β4′=141°35′50″;β5′=252°47′18″;βC′=150°26′43″。

(6)计算各导线边的最或然方位角αi(i 1)′

αB1′=110°26′07″

α12′=160°48′16″;α23′=141°30′15″;α34′=203°27′36″;α45′=165°03′26″;α5C′=237°50′44″;αCD′=208°17′27″。

αCD′=[αCD],计算过程无误。

(7)计算各导线边的近似坐标增量ΔXi(i 1)、ΔYi(i 1)

ΔXB1=-85.939m、ΔYB1=230.648m;ΔX12=-203.831m、ΔY12=70.964m;ΔX23=-154.354m、ΔY23=122.760m;ΔX34=-261.149m、ΔY34=-113.334m;ΔX45=-218.792m、ΔY45=58.391m;ΔX5C=-160.625m、ΔY5C=-255.518m。

(8)计算坐标闭合差fY、fX

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(24)

=0.163m;

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(25)

=-0.147m

(9)计算导线的总闭合差(全长闭合差)f

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(26)

=0.219m

(10)计算导线的总相对闭合差(全长相对闭合差)K

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(27)

=0.219m/1472.130m=1/6700

对三级导线KX=1/6000,K≤KX,导线边长(水平距离)测量合格。

(11)计算各导线边的近似坐标增量改正数vΔXi(i 1)、vΔYi(i 1)

vΔXB1=-0.027m、vΔYB1=0.024m;vΔX12=-0.024m、vΔY12=0.022m;vΔX23=-0.022m、vΔY23=0.020m;vΔX34=-0.032m、vΔY34=0.028m;vΔX45=-0.025m、vΔY45=0.023m;vΔX5C=-0.033m、vΔY5C=0.030m。

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(28)

=0;

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(29)

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(30)

=0;

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(31)

经校核,计算无误。

(12)计算各导线边的最或然坐标增量ΔXi(i 1)′、ΔYi(i 1)′

ΔXB1′=-85.966m、ΔYB1′=230.672m;ΔX12′=-203.855m、ΔY12′=70.986m;ΔX23′=-154.376m、ΔY23′=122.780m;ΔX34′=-261.181m、ΔY34′=-113.306m;ΔX45′=-218.817m、ΔY45′=58.414m;ΔX5C′=-160.658m、ΔY5C′=-255.488m。

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(32)

导线测量实际操作要点总结 导线测量的相关知识(33)

。经校核,计算无误。

(13)计算各导线点的最或然坐标Xi 1′、Yi 1′

X1′=326097.186m、Y1′=542470.921m;X2′=325893.331m、Y2′=542541.907m;X3′=325738.955m、Y3′=542664.687m;X4′=325477.774m、Y4′=542551.381m;X5′=325258.957m、Y5′=542609.795m;XC′=325098.299m、YC′=542354.307m。

XC′=XC,YC′=YC。经校核计算无误。导线计算结束。

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