我们在昨天和大家一起分享了一些小学阶段必须要掌握的类型题解法，不知各位同学掌握地如何了呢？今天我们将和大家一起分享的是第二篇。也就是第11-20种类型题及其解法。
（小学类型题第一篇）
基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。
基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项：
- 新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。
- 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
等差数列：在一列数中，任意相邻两个数的差是一定的，这样的一列数，就叫做等差数列。
基本概念：
- 首项：等差数列的第一个数，一般用a1表示；
- 项数：等差数列的所有数的个数，一般用n表示；
- 公差：数列中任意相邻两个数的差，一般用d表示；
- 通项：表示数列中每一个数的公式，一般用an表示；
- 数列的和：这一数列全部数字的和，一般用Sn表示．
基本思路：等差数列中涉及五个量：a1 ,an, d,n,sn,,通项公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可求出第四个；求和公式中涉及四个量，如果己知其中三个，就可以求这第四个。
基本公式：
- 通项公式：an = a1 （n－1）d；
- 通项＝首项＋（项数一1) 公差；
- 数列和公式：sn,= (a1 an)n2；
- 数列和＝（首项＋末项）项数2；
- 项数公式：n= (an a1)d＋1；
- 项数=（末项-首项）公差＋1；
- 公差公式：d =（an－a1））（n－1）；
- 公差=（末项－首项）（项数－1）；
关键问题：确定已知量和未知量，确定使用的公式；
13．二进制及其应用十进制：用0～9十个数字表示，逢10进1；不同数位上的数字表示不同的含义，十位上的2表示20，百位上的2表示200。所以234=200 30 4=2*100 3*10 4。
二进制：用0～1两个数字表示，逢2进1；不同数位上的数字表示不同的含义。
十进制化成二进制：
- 根据二进制满2进1的特点，用2连续去除这个数，直到商为0，然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
- 先找出不大于该数的2的n次方，再求它们的差，再找不大于这个差的2的n次方，依此方法一直找到差为0，按照二进制展开式特点即可写出。
加法原理：如果完成一件任务有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法……，在第n类方法中有mn种不同方法，那么完成这件任务共有：m1 m2....... mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的分类方法。
基本特征：每一种方法都可完成任务。
乘法原理：如果完成一件任务需要分成n个步骤进行，做第1步有m1种方法，不管第1步用哪一种方法，第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法，第n步总有mn种方法，那么完成这件任务共有：m1×m2....... ×mn种不同的方法。
关键问题：确定工作的完成步骤。
基本特征：每一步只能完成任务的一部分。
知识拓展：
- 数线段规律：总数＝1 2 3 … （点数一1）；
- 数角规律=1 2 3 … （射线数一1）；
- 数长方形规律：个数=长的线段数×宽的线段数：
- 数长方形规律：个数=1×1 2×2 3×3 … 行数×列数
- 质数：一个数除了1和它本身之外，没有别的约数，这个数叫做质数，也叫做素数。
- 合数：一个数除了1和它本身之外，还有别的约数，这个数叫做合数。
- 质因数：如果某个质数是某个数的约数，那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数：把一个数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式：N=，其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数，且a1<a2<a3<……<an。
求约数个数的公式：P=(r1 1)×(r2 1)×(r3 1)×……×(rn 1)
互质数：如果两个数的最大公约数是1，这两个数叫做互质数。
16．约数与倍数约数和倍数：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的约数。
公约数：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质：
- 几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数。
- 几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
- 几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数。
- 几个数都乘以一个自然数m，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如：12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有：1、2、3、6、9、18；
那么12和18的公约数有：1、2、3、6；
那么12和18最大的公约数是：6，记作（12，18）=6；
求最大公约数基本方法：
- 分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。
- 短除法：先找公有的约数，然后相乘。
- 辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数。
公倍数：几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数；其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有：12、24、36、48……；
18的倍数有：18、36、54、72……；
那么12和18的公倍数有：36、72、108……；
那么12和18最小的公倍数是36，记作[12，18]=36；
最小公倍数的性质：
- 两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
- 两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法：①短除法求最小公倍数；②分解质因数的方法
17．数的整除一、基本概念和符号：
1、整除：如果一个整数a，除以一个自然数b，得到一个整数商c，而且没有余数，那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。
2、常用符号：整除符号“|”；因为符号“∵”，所以的符号“∴”；
二、整除判断方法：
1. 能被2、5整除：末位上的数字能被2、5整除。
2. 能被4、25整除：末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3. 能被8、125整除：末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4. 能被3、9整除：各个数位上数字的和能被3、9整除。
5. 能被7整除：
- 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
- 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6. 能被11整除：
- 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
- 奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
- 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7. 能被13整除：
- 末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
- 逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质：
- 如果a、b能被c整除，那么（a b）与（a-b）也能被c整除。
- 如果a能被b整除，c是整数，那么a乘以c也能被b整除。
- 如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。
- 如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
基本概念：对任意自然数a、b、q、r，如果使得a÷b=q……r，且0<r<b,那么r叫做a除以b的余数，q叫做a除以b的不完全商。
余数的性质：
- 余数小于除数。
- 若a、b除以c的余数相同，则c|a-b或c|b-a。
- a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
- ④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
一、同余的定义：
- 若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
- 已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod m)，读作a同余于b模m。
二、同余的性质：
- 自身性：a≡a(mod m)；
- 对称性：若a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)；
- 传递性：若a≡b(mod m)，b≡c(mod m)，则a≡ c(mod m)；
- 和差性：若a≡b(mod m)，c≡d(mod m)，则a c≡b d(mod m)，a-c≡b-d(mod m)；
- 相乘性：若a≡ b(mod m)，c≡d(mod m)，则a×c≡ b×d(mod m)；
- 乘方性：若a≡b(mod m)，则an≡bn(mod m)；
- 同倍性:若a≡ b(mod m)，整数c，则a×c≡b×c(mod m×c)；
三、关于乘方的预备知识：
- 若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
- 若B=c d则MB=Mc d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征：
- 一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod 3）；
- 一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod 11)；
五、费尔马小定理：如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(mod p)。
20．分数与百分数的应用
基本概念与性质：
- 分数：把单位“1”平均分成几份，表示这样的一份或几份的数。
- 分数的性质：分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
- 分数单位：把单位“1”平均分成几份，表示这样一份的数。
- 百分数：表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法：
- 逆向思维方法：从题目提供条件的反方向（或结果）进行思考。
- 对应思维方法：找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
- 转化思维方法：把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。最常见的是转换成比例和转换成倍数关系；把不同的标准（在分数中一般指的是一倍量）下的分率转化成同一条件下的分率。常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
- 假设思维方法：为了解题的方便，可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立，计算出相应的结果，然后再进行调整，求出最后结果。
- 量不变思维方法：在变化的各个量当中，总有一个量是不变的，不论其他量如何变化，而这个量是始终固定不变的。有以下三种情况：A、分量发生变化，总量不变。B、总量发生变化，但其中有的分量不变。C、总量和分量都发生变化，但分量之间的差量不变化。
- 替换思维方法：用一种量代替另一种量，从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
- 同倍率法：总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
- 浓度配比法：一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
今天第二部分就总结到这里，各位小朋友们，你们学会了吗？
- 编辑：Chaos
- 审核：Tong
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