考纲原文

1.正弦定理和余弦定理

掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.

2.应用

能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.

知识点详解

一、正弦定理

1.正弦定理

根据正弦定理判断三角形有几种解(看如何解三角形)(1)

3.解决的问题

(1)已知两角和任意一边,求其他的边和角;

(2)已知两边和其中一边的对角,求其他的边和角.

4.在△ABC中,已知a,b和A时,三角形解的情况

根据正弦定理判断三角形有几种解(看如何解三角形)(2)

二、余弦定理

根据正弦定理判断三角形有几种解(看如何解三角形)(3)

3.解决的问题

(1)已知三边,求三个角;

(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两角.

根据正弦定理判断三角形有几种解(看如何解三角形)(4)

三、解三角形的实际应用

根据正弦定理判断三角形有几种解(看如何解三角形)(5)

(4)坡角与坡度

①坡角:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④,角θ为坡角);

②坡度:坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④,i为坡度).坡度又称为坡比.

根据正弦定理判断三角形有几种解(看如何解三角形)(6)

考向分析

考向一 利用正、余弦定理解三角形

利用正、余弦定理求边和角的方法:

(1)根据题目给出的条件(即边和角)作出相应的图形,并在图形中标出相关的位置.

(2)选择正弦定理或余弦定理或二者结合求出待解问题.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理都有可能用到.

(3)在运算求解过程中注意三角恒等变换与三角形内角和定理的应用.

根据正弦定理判断三角形有几种解(看如何解三角形)(7)

考向二 三角形形状的判断

利用正、余弦定理判定三角形形状的两种思路:

(1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.

(2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角恒等变换,得出内角间的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用

这个结论.

提醒:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免造成漏解.

考向三 与面积、范围有关的问题

(1)求三角形面积的方法

①若三角形中已知一个角(角的大小,或该角的正、余弦值),结合题意求夹这个角的两边或该两边之积,套公式求解.

②若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,套公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.

(2)三角形中,已知面积求边、角的方法

三角形面积公式中含有两边及其夹角,故根据题目的特点,若求角,就寻求夹这个角的两边的关系,利用面积公式列方程求解;若求边,就寻求与该边(或两边)有关联的角,利用面积公式列方程求解.

【名师点睛】

在解决三角形问题中,面积公式最常用,因为公式中既有边又有角,容易和正弦定理、余弦定理联系起来.正、余弦定理在应用时,应注意灵活性,已知两角和一边,该三角形是确定的,其解是唯一的;已知两边和一边的对角,该三角形具有不唯一性,通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断.

考向四 三角形中的几何计算

几何中的长度、角度的计算通常转化为三角形中边长和角的计算,这样就可以利用正、余弦定理解决问题.解决此类问题的关键是构造三角形,把已知和所求的量尽量放在同一个三角形中.

考向五 解三角形的实际应用

解三角形应用题的两种情形:

(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解;(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.

研究测量距离问题是高考中的常考内容,既有选择题、填空题,也有解答题,难度一般适中,属中档题.解题时要选取合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.

根据正弦定理判断三角形有几种解(看如何解三角形)(8)

,