女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
传统观点认为，中世纪伊斯兰建筑中的girih（星形、多边形或条带装饰）图案是由设计者构思的、由曲折线条组成的网络，线条是直接用直尺圆规绘制的。我们发现，到了公元1200年，在概念上出现了突破，girih图案被重新设想为由一组特殊的等边多边形（“girih拼块”）组成的、带有线条装饰的镶嵌。这些拼块使人们能够创造出越来越复杂的周期性girih图案，到了15世纪，镶嵌法与自相似变换法相结合，构建出近乎完美的准晶体彭罗斯图案，这比西方人发现这些图案要早五个世纪。
Girih图案构成了伊斯兰艺术和建筑中广泛的装饰风格(1-6)。以前对描述数学在建筑中应用的中世纪伊斯兰文献的研究表明，这些Girih图案是通过使用圆规和直尺直接绘制曲折的线网（有时称为带状图）来构建的（3，7）。这些Girih图案的视觉效果通常通过旋转对称来增强。然而，由单一“单元格”图案重复构建的周期性图案只能有一组有限的旋转对称性，西方数学家在19世纪的首次严格证明了这一点：只允许二重、三重、四重和六重旋转对称。特别是，五重和十重旋转对称是被明确禁止的(8)。因此，虽然五角形和十角形图案经常出现在伊斯兰建筑瓷拼块中，但它们通常装饰在一个单元格上，以晶体学上允许的对称图案重复(3-6)。
尽管简单的包含十角星图案的周期性girih图案可以用直尺和圆规的“直接编织法”来构建（如图1所示），但更复杂的十角星图案也出现在中世纪的伊斯兰建筑中。这些复杂的图案可以有包含数百个十角星的单元，并且可以在几个长度尺度上重复相同的十角星图案。用直尺和圆规单独放置和绘制数百个这样的十角星既非常麻烦，又可能积累几何变形，而这些变形是观察不到的。
图1. 10/3十边形图案的直接拼接和girih拼块的构造。(A到D)用直接拼接方法绘制常见的10/3星形。(A)将一个圆等分成10份，每三个顶点用一条直线连接起来，形成一个10/3的星形，(B)以一个矩形为中心，矩形的宽度就是该圆的直径。在每个步骤中，新绘制的线条以蓝色表示，要删除的线条以红色表示，未在最终图案中的紫色构造线以紫色虚线表示。(E)位于阿富汗赫拉特Gazargah的帖木儿圣地Khwaja Abdullah Ansari(公元前1425年至1429年)的周期性图案，其中单元图案(D)由黄色矩形表示。通过镶嵌Girih拼块(覆盖在右侧)可以获得相同的图案。(F)全套girih拼块：十边形、五边形、六边形、蝴蝶结和菱形。(G)这五个Girih拼块的墨水轮廓出现在Topkapi卷轴的图28中，我们根据(F)中的配色方案对每种Girih拼块中的一个进行了着色。
根据我们对装饰在中世纪伊斯兰建筑、建筑卷轴和其他形式的中世纪伊斯兰艺术上的大量girih图案的研究，我们认为，到公元1200年，伊斯兰数学和设计有了一个重要的突破：发现了一种全新的概念化和构建girih线条图案的方法，即使用一套五种拼块的装饰方块，我们称之为“girih拼块”。每种girih拼块上都有线条装饰，而且非常简单，只需使用中世纪伊斯兰教资料中记载的数学工具即可绘制。通过将拼块边对边铺砌，装饰线自然连接起来，形成一个贯穿整个拼块的连续网络。我们进一步展示了girih拼块方法如何开辟了创造新类型异常复杂图案的方法，包括达布-I伊玛目神殿(伊朗伊斯法罕，公元1453年)上近乎完美的准晶体彭罗斯图案，西方在五个世纪后才理解其基本数学原理。
作为这两种方法的说明，考虑图1E中来自阿富汗赫拉特(公元1425年至1429年)的加扎加的Khwaja Abdullah Ansari神殿的图案(3，9)，基于包含中世纪伊斯兰建筑中常见十角星图案单元的周期性阵列，即图1A所示的10/3星(其他示例见图S1)(1，3–5，10)。使用中世纪伊斯兰数学家记录的技术(3，7)，每个图案都可以使用直接线条法绘制(图1，A到D)。然而，替代的几何构造可以产生相同的图案(图1E，右)。在不在10/3星内的所有线段对之间的交点处，平分较大的108°角会产生线段(图中红色虚线)，当这些线段延伸到相交时，会形成三个不同的多边形：装饰有10/3星线图案的十边形、装饰有蝙蝠形线图案的细长六边形和由两个相对的四边形装饰的蝴蝶结。将相同的程序应用于伊朗纳伊兹大清真寺的15世纪图案(图S2) (11)会产生另外两个多边形，一个带有五角星形图案的五边形，一个带有蝴蝶结线条图案的菱形。这五个多边形(图1F)，我们称之为“girih拼块”，被用来构建具有十角星图案的各种图案(图S3) (12)。这五块girih拼块的轮廓也是中世纪伊斯兰建筑师用墨水绘制的卷轴，用来传递建筑实践，例如伊斯坦布尔托普卡皮宫殿博物馆现在收藏的15世纪帖木儿土库曼卷轴(图1G和图S4) (2，13)，提供了它们使用的直接历史文献。
图1F中的5个Girih拼块有几个共同的几何特征。每条多边形的每条边都有相同的长度，两条装饰线以72°和108°的角度与每条边的中点相交。这确保了当两个拼块的边缘在镶嵌中对齐时，装饰线将继续穿过公共边界而不改变方向(14)。因为线条交叉点和拼块都只包含36°的倍角，所以由girih拼块装饰线形成的最终girih花纹图案中的所有线段都将平行于正五边形的边；因此，十角形几何图形在由girih拼块的任何组合的镶嵌形成的girih图案中得到加强。拼块装饰有不同的内部旋转对称：十边形是10重对称；五边形是5重对称；六边形、蝴蝶结、菱形都是二重对称。
镶嵌这些girih拼块比直接绘制条带状的方法有几个实际的优势，可以让不熟悉其数学特性的工匠更简单、更快速、更准确地执行。一些全尺寸的girih拼块可以作为模板，帮助在建筑表面定位装饰线，允许快速、准确地生成图案。此外，girih拼块最大限度地减少了手工绘制单个10/3星的角度扭曲的积累，以及随之而来的尺寸、位置和方向上的错误。
Girih拼块还可以建造周期性的十角星图案，而这些图案并不是直接用带状加工方法自然产生的。其中一类图案重复五边形图案，但完全没有10/3的星星，而这些星星建立了直接用直尺和圆规绘图所需的初始十角星角度。这类图案出现在公元1200年左右的塞尔柱建筑上，如土耳其Tercan的Mama Hatun陵墓（公元1200年；图2A）（5，15，16），即使没有十角星（即缺少十角形的Girih拼块；见图S5），也可以通过镶嵌蝴蝶形和六边形Girih拼块来轻松创造完美的五边形图案。更令人信服的证据是，伊朗马拉加的Gunbad-i Kabud（公元前1197年）的墙壁上出现了使用girih拼块的情况（11，17，18），在八角形墓塔的八块外墙板中，有七块贴满了十边形、六边形、蝴蝶结形和菱形拼块（图2，B和C）。在每块墙板内，十边形图案并不重复；相反，这种周期性拼块的单元格跨越了两块完整墙板的长度（图S6）。主要的装饰性凸起的砖块图案沿用了图1F的环形拼块装饰线。然而，第二组较小的装饰线符合每个单独的girih拼块的内部旋转对称性，而不遵守五边形的角度（图2，C和D）。在六边形、蝴蝶结或菱形所占据的每个区域内，较小的线条装饰具有两重而非五重的旋转对称性，因此不可能用直接的带状加工方法产生。相比之下，用girih拼块构建这两种图案是很简单的。每块girih拼块上都有两组线条装饰：图1F的标准线条装饰，以及第二组非五边形的图案，整体为二重对称（图2，C和D）。然后对girih拼块进行镶嵌，规则的线条图案在塔楼上用大的凸起的砖块表示，第二组线条用小的砖块表示。因此，马拉加塔上的线条图案的双层性质为该图案是由图1F中的girih拼块拼接而成的提供了有力的证据。
图2. (A)：土耳其Tercan的塞尔柱Mama Hatun陵墓的周期性girih图案 (公园1200年)，其中所有的线条都与正五边形的边平行，尽管没有十角星。右图是重建后的六边形和蝴蝶形Girih拼块的重叠图。(B)： A. Sevruguin（约1870年代）拍摄的伊朗Maragha的八角形Gunbad-i Kabud墓塔（公元1197年），其中一块板子上覆盖着girih拼块的重建。(C) ：(B)中黄色矩形点标记的区域的特写。(D)：六边形、蝴蝶结形和菱形的girih拼块，并有额外的小拼块图案重建（以白色表示），该图案不符合整体图案的五边形几何形状，而是符合单个girih拼块的内部两面旋转对称性。
Girih拼块还可以建造周期性的十角星图案，而这些图案并不是直接用带状加工方法自然产生的。其中一类图案重复五边形图案，但完全没有10/3的星星，而这些星星建立了直接用直尺和圆规绘图所需的初始十边形角度。这类图案出现在公元1200年左右的塞尔柱建筑上，如土耳其Tercan的Mama Hatun陵墓（公元1200年，图2A）（5，15，16），更令人信服的证据是，伊朗马拉加的Gunbad-i Kabud（公元1197年）的墙壁上出现了使用girih拼块的情况（11，17，18），在八角形墓塔的八块外墙板中，有七块贴满了十边形、六边形、蝴蝶结形和菱形拼块（图2，B和C）。在每块墙板内，十边形图案并不重复；相反，这种周期性拼块的单元格跨越了两块完整墙板的长度（图S6）。主要的装饰性凸起的砖块图案沿用了图1F的环形拼块装饰线。然而，第二组较小的装饰线符合每个单独的girih拼块的内部旋转对称性，而不遵守五边形的角度（图2，C和D）。在六边形、蝴蝶结或菱形所占据的每个区域内，较小的线条装饰具有二重而非五重的旋转对称性，因此不可能用直接的带状加工方法产生。相比之下，用girih拼块构建这两种图案是很容易的。每块girih拼块上都有两组线条装饰：图1F的标准线条装饰，以及第二组非五边形的图案，整体为二重对称（图2，C和D）。然后对girih拼块进行镶嵌，规则的线条图案在塔楼上用大的凸起的砖块表示，第二组线条则用小的砖块表示。因此，马拉加塔上的线条图案的双层性质为该图案是由图1F中的girih拼块拼成的提供了有力的证据。
也许从girih拼块的应用中产生的最引人注目的创新是使用自相似性变换（将大的girih拼块细分为较小的拼块）来创建两个不同尺度的重叠图案，其中每个图案都是由相同的 girih拼块形状产生的。细分的例子可以在托普卡比卷轴中找到（例如，图1G；另见图S4A）以及伊朗伊斯法罕的星期五清真寺（17）和Darb-i Imam神殿（公元1453年）（2，9，19）。图3A显示了Darb-i Imam神殿的一个窗台。由少量十边形和蝴蝶结组成的大而粗的黑色线条图案（图3C）被细分为较小的图案，该图案也可以由231块girih拼块组成的方块图案完美生成（图3B；图1F的线条装饰在此用纯色填充）。我们已经确定了用于生成Darb-i Imam spandrel图案的细分规则（图3，D和E），该规则也被用于Darb-i Imam神殿和伊斯法罕星期五清真寺的其他图案（图S7）。
图3所示。在伊朗伊斯法罕的Darb-i伊玛目神殿(公元1453年)的拱肩上发现的十角形girih图案。(A)：右拱肩照片。(B)：使用girih拼块重建较小规模的图案，其中图1F中的蓝线装饰已用纯色填充。(C)：用更大的girih拼块重建更大尺度的粗线图案，覆盖在建筑照片上。(D和E)：描绘的细分规则，将大蝴蝶结(D)和十边形(E)girih拼块图案转变成小girih拼块图案，来自Darb-i伊玛目神殿和伊斯法罕星期五清真寺。
细分规则与十角形对称性相结合，足以构建完美的准晶格——具有无限完美的准周期平移顺序和晶体学上禁止的旋转对称性的图案，如五角形或十角形——数学家和物理学家直到过去30年(20，21)才开始了解这一点。准周期顺序意味着不同的拼块形状以无理数的频率重复；也就是说，频率的比率不能用整数的比率来表示。通过具有准周期性而不是周期性，可以打破传统晶体学的对称性约束，并且有可能使五角形图案以整体五边形和十角形对称性的图案结合在一起(21)。
最著名的准晶体镶嵌的例子是彭罗斯镶嵌（20，22），一个具有长程准周期平移秩序和五重对称性的双拼块镶嵌。彭罗斯拼块可以有各种形状。与中世纪伊斯兰建筑装饰相比较，一个方便的选择是图4左侧A和B所示的风筝和飞镖。正如彭罗斯在20世纪70年代最初设想的那样，拼块可以通过“匹配规则”或自相似的细分来构建。对于匹配规则，风筝和飞镖可以分别用红色和蓝色的条纹来装饰（图4，A和B）；当拼块的摆放使条纹不间断地继续下去时，唯一可能的紧密排列是一个五重对称的准晶体图案，其中风筝和飞镖的重复频率是无理数，即黄金比例t=（1 √5 ）/2≈1.618。我们没有看到任何证据表明伊斯兰设计师使用了匹配规则的方法。第二种方法是根据图4，A和B所示的规则，将风筝和飞镖反复细分为更小的风筝和飞镖。这种将大拼块细分为小拼块的自相似性可以用转换矩阵来表示，其特征值是无理数，这是准周期性的标志；特征值代表无限拼块极限中拼块频率的比率（23）。
图4. (A和B)风筝(A)和飞镖(B)的彭罗斯拼块形状显示在箭头的左边，在一个完美的彭罗斯拼块中，红色和蓝色的丝带连续穿过边缘匹配。给定一个有限的拼块片段，每个拼块可以根据 “膨胀规则”被细分为更小的风筝和飞镖（在箭头的右边），它们连接在一起，形成一个有更多拼块的完美片段。(C到E) girih拼块和彭罗斯拼块之间的映射，用于拉长的六边形（C）、蝴蝶结形（D）和十边形（E）。(F) 从Darb-i Imam神殿看，小girih拼块区域与彭罗斯拼块的映射，对应于图3B中白色矩形标记的区域。左边是按照(C)到(E)的规则映射到彭罗斯拼块的区域。紫色勾勒的一对彩色拼块有一个点缺陷（彭罗斯边缘不匹配用黄色虚线表示），可以通过翻转蝴蝶结形和六边形的位置来消除，如右图所示，产生一个完美的、无缺陷的彭罗斯拼块。
我们的分析表明，伊斯兰设计师拥有使用自相似变换方法产生准晶体girih图案所需的所有概念元素：girih拼块、十角形对称和细分。达布-伊玛目神殿上的图案是这些原则如何应用的一个引人注目的例子。利用图3、图D和图E所示的大girih拼块到小girih拼块的自相似细分，可以构造出任意大的Darb-I伊玛目图案。六边形与蝴蝶结的渐近比率接近黄金比率t(与彭罗斯拼块中风筝与飞镖的比率相同)，这个比率是无理数，清楚地表明这种图案是准周期的。
此外，Darb-I伊玛目图案可以按照图4(C至E)中给出的六边形、蝴蝶结(22)和十角形的方法直接映射到彭罗斯拼块中。使用这些替换，Darb-I伊玛目上的大(图3C)和小(图3B)Girih拼块图案都可以完全映射到彭罗斯拼块(图3)中。请注意，图4(C到E)中所示的映射打破了girih拼块的左右对称性；因此，对于单个拼块，有不同数量的映射可供选择：十边形10个，六边形和蝴蝶结各两个。因此，通过使用这种自由度来最大程度地消除彭罗斯拼块边缘失配来完成映射。请注意，与之前文献中十角形图案的伊斯兰设计和彭罗斯拼块(18，24)之间的比较不同，Darb-I Imam神殿镶嵌没有嵌入周期框架中，原则上可以扩展为无限的准周期图案。
尽管Darb-i Imam神殿图案说明伊斯兰设计者拥有建造完美的准晶体图案所需的所有元素，但我们还是发现有迹象表明设计者对这些元素的理解并不全面。首先，我们没有证据表明他们曾经开发过另一种匹配规则的方法。其次，在Darb-i Imam拼块中存在少量的拼块不匹配，即局部不完美。这些可以通过将拼块映射到彭罗斯拼块中并识别出不匹配的地方来实现可视化。然而，在3700个彭罗斯拼块中，只有少数的11个错位，而且每个错位都是点状的，可以在不影响图案其他部分的情况下，对少数拼块进行局部重新排列（图4F和图S8）。这就是工匠在构建或修复复杂图案时可能无意中造成的缺陷。第三，设计者没有从一个单一的girih拼块开始，而是从一个小的大拼块排列开始，而这个拼块并没有出现在细分的图案中。这种任意和不必要的选择意味着，严格来说，拼块并不是自相似的，尽管重复应用细分规则仍然会导致同样的无理数t比率的六边形与蝴蝶结。
我们的工作提出了几个进一步研究的途径。尽管到目前为止我们研究的例子离完美的准晶体还很远，但可能还有更多有趣的例子有待发现，包括完美的准周期十角形图案。上面概述的细分分析建立了一个识别准周期图案和衡量其完美程度的程序。此外，其他非结晶学对称性的图案也可能存在类似的girih拼块，类似的非十边形图案的点状拼块轮廓出现在托普卡比卷轴中。最后，尽管我们的分析表明，复杂的十边形拼块在公元1200年就已经开始制作了，但从直接的带状图案到girih拼块方式的转变究竟是何时发生的，以及这些复杂的伊斯兰图案的设计者的身份，都是悬而未决的问题，其几何学的复杂性引领了中世纪世界。
参考文献
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2. G. Necipoglu, The Topkapi Scroll: Geometry and Ornament in Islamic Architecture (Getty Center for the History of Art and the Humanities, Santa Monica, CA, 1995).
3. I. El-Said, A. Parman, in Geometric Concepts in Islamic Art (World of Islam Festival, London, 1976), pp. 85–87.
4. S. J. Abas, A. S. Salman, in Symmetries of Islamic Geometrical Patterns (World Scientific, Singapore, 1995), p. 95.
5. Y. Demiriz, in Islam Sanatinda Geometrik Susleme (Lebib Yalkin, Istanbul, 2000), pp. 27, 128–129.
6. G. Schneider, in Geometrische Bauornamente der Seldschuken in Kleinasien (Reichert, Wiesbaden, Germany, 1980), pp. 136–139, plate 3.
7. Abu’l-Wafa al-Buzjani’s (940–998 C.E.) treatise On the Geometric Constructions Necessary for the Artisan, and an anonymous manuscript appended to a Persian translation of al-Buzjani and likely dating from the 13th century, On Interlocks of Similar or Corresponding Figures (2), document specific techniques for architecturally related mathematical constructions (2, 25). The mathematical tools needed to construct the girih tiles are entirely contained in these two manuscripts— specifically, bisection, division of a circle into five equal parts, and cutting and rearrangement of paper tiles to create geometric patterns.
8. A. Bravais, J. Ec. Polytech. 33, 1 (1850).
9. L. Golombek, D. Wilber, in The Timurid Architecture of Iran and Turan (Princeton Univ. Press, Princeton, NJ, 1988), pp. 246–250, 308–309, 384–386, 389, color plates IV, IXb, plates 46, 374.
10. Additional examples of this particular 10/3 decagonal pattern, shown in fig. S1: the Seljuk Congregational Mosque in Ardistan, Iran (~1160 C.E.) (16); the Timurid Tuman Aqa Mausoleum in the Shah-i Zinda complex in Samarkand, Uzbekistan (1405 C.E.) (9, 16); the Darb-i Kushk shrine in Isfahan, Iran (1496 C.E.) (2, 9, 17); and the Mughal I’timad al-Daula Mausoleum in Agra, India (~1622 C.E.) (28).
11. R. Ettinghausen, O. Grabar, M. Jenkins-Madina, in Art and Architecture 650–1250 (Yale Univ. Press, New Islamic Haven, CT, 2001), p. 109.
12. Additional architectural examples of patterns that can be reconstructed with girih tiles, shown in fig. S3: the Abbasid Al-Mustansiriyya Madrasa in Baghdad, Iraq (1227 to 1234 C.E.) (26); the Ilkhanid Uljaytu Mausoleum in Sultaniya, Iran (1304 C.E.) (17); the Ottoman Green Mosque in Bursa, Turkey (1424 C.E.) (27); and the Mughal I’timad al-Daula Mausoleum in Agra, India (~1622 C.E.) (28). Similar patterns also appear in the Mamluk Qurans of Sandal (1306 to 1315 C.E.) and of Aydughdi ibn Abdallah al-Badri (1313 C.E.) (29). Note that the girih-tile paradigm can make pattern design structure more clear. For example, all of the spandrels with decagonal girih patterns we have thus far examined (including Fig. 3C and figs. S2 and S3A) follow the same prescription to place decagons: Partial decagons are centered at the four external corners and on the top edge directly above the apex of the arch.
13. A similar convention was used to mark the same girih tiles in other panels (e.g., 28, 50, 52, and 62) in the Topkapi scroll (fig. S4) (2).
14. E. H. Hankin, The Drawing of Geometric Patterns in Saracenic Art (Government of India Central Publications Branch, Calcutta, 1925), p. 4.
15. This pattern type also occurs on the Great Mosque in Malatya, Turkey (~1200 C.E.) (6), and the madrasa in 18. E. Makovicky, in Fivefold Symmetry, I. Hargittai, Ed. (World Scientific, Singapore, 1992), pp. 67–86.
19. J. F. Bonner, in ISAMA/Bridges Conference Proceedings, R. Sarhangi, N. Friedman, Eds. (Univ. of Granada, Granada, Spain, 2003), pp. 1–12.
20. R. Penrose, Bull. Inst. Math. Appl. 10, 266 (1974).
21. D. Levine, P. J. Steinhardt, Phys. Rev. Lett. 53, 2477 (1984).
22. M. Gardner, in Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers (Freeman, New York, 1989), pp. 1–29.
23. D. Levine, P. J. Steinhardt, Phys. Rev. B 34, 596 (1986).
24. A single figure, part of a geometric proof from On Interlocks of Similar or Corresponding Figures, has been related to the outlines of individual Penrose tiles, but there is no evidence whatsoever for tessellation (31). Makovicky has connected the Maragha Gunbad-i Kabud pattern in Fig. 2 with the Penrose tiling (18), but explicitly states (as we show in fig. S6) that the pattern is periodic, so by definition it cannot be a properly quasiperiodic Penrose tiling.
25. A. Ozdural, Hist. Math. 27, 171 (2000).
26. H. Schmid, Die Madrasa des Kalifen Al-Mustansir in Baghdad (Zabern, Mainz, Germany, 1980), plates 15, 87.
27. G. Goodwin, A History of Ottoman Architecture (Thames and Hudson, London, 1971), pp. 58–65.
28. Y. Ishimoto, Islam: Space and Design (Shinshindo, Kyoto, 1980), plates 378, 380, 382.
29. D. James, Qur’ans of the Mamluks (Thames and Hudson, New York, 1988), pp. 54, 57–59.
30. R. Hillenbrand, Islamic Architecture (Columbia Univ. Press, New York, 1994), pp. 182–183.
31. W. K. Chorbachi, Comp. Math. Appl. 17, 751 (1989).
32. We thank G. Necipoglu and J. Spurr, without whose multifaceted assistance this paper would not have been possible. We also thank R. Holod and K. Dudley/M. Eniff for permission to reproduce their photographs in Figs. 2C and 3A, respectively; C. Tam and E. Simon-Brown for logistical assistance in Uzbekistan; S. Siavoshi and A. Tafvizi for motivating the exploration of Isfahan’s sights; and S. Blair, J. Bloom, C. Eisenmann, T. Lentz, and I. Winter for manuscript comments. Photographs in Fig. 2, A and B, and in the online figures courtesy of the Fine Arts Library, Harvard College Library. Supported by C. and F. Lu and by the Aga Khan Program for Islamic Architecture at Harvard University.
33 https://www.163.com/tech/article/CLFA2DKG00097U81.html
34 Peter J. Lu1 * and Paul J. Steinhardt2. Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture
青山不改，绿水长流，在下告退。
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