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NO. 128
正方形幻方
将1、3、5、7、9、11、13、15、17这9个自然数填入到上图的圆圈中，使得每个正方形的四个角上的数字和都相等。
问题分析解答
9个自然数的和为81，图中共有6个正方形，每个正方形四个角上的数之和都相等，这个相等的和可设为S，9个圆圈中的数可依次设为A，B，C，D，E，F，G，H，I，如图所示。
1、如果把6个正方形四个角的数全部加起来，为和6S。而在这个过程中，大正方形四个角上的数A，C，G，I各被加了2次，边上的四个数B，D，H，F各被加了3次，中间的数E被加了4次，于是，我们有：
2（A G I C） 3（B D H F） 4E=6S
而A G I C=B D H F=S，所以4E=S。
2、大正方形四个角上的数A，C，G，I与边上的正方形四个角上的数B，D，H，F之和，再加上中间的数E正好是9个自然数的和，于是：
2S E=81
可得，S=36，E=9。
3、由于四个小正方形四个角上的数之和都为36，而E=9，所以四个小正方形除顶点E之外的三个数之和都为27。而
27=1 11 15=3 7 17=3 11 13=5 7 15
发现1，5，13，17都只出现了一次，它们只能填在大正方形AGIC的四个角上，而3，7，11，15都出现了两次，他们应该填在次正方形BDHF的四个角上，同时，3和15不能在同一小正方形中，7和11不能在同一小正方形中。如果假定B=3，则B，D，H，F有两种填法，即（B，D，H，F）=（3，7，11，15）或（3，11，7，15）。而3除了可以填在B处，也可以填在D，H，F处，3的每一种填法7，11，15又有两种填法，所以B，D，H，F共有8种填法。而B，D，H，F一旦确定，A，G，I，C就被唯一确定下来。因此，总共的填法有8种，其中两种填法如下：
事实上，其他6种填法都是由这两种填法旋转90度得到的。
PS：另一种比较巧的方法是，先考虑1-9九个数字的填法，然后每个数字乘2减1。具体可参见题友解答精选中题友 @江建峰的解答。
题友解答精选
◎题友 @江建峰的解答：
先简化计算量，考虑填入1-9，然后每人数字乘2减1对应 考虑四个小正方形（简称小正）加最大正方形（简称大正）之和，得到5y=45×2 2x（x为中间数，y为正方形之和），得到x=5,y=20 再考虑对角两个小正加大正之和，得到大正对角数字之和为10 最后，考虑对角2个小正，除了一个数字是5，剩下每三个数字之和为15且不重复，比较剩下的数，可以得到只有2组，分别是2 4 9和1 6 8，2 6 7和3 4 8.代入试算，很容易得到只有一种最后答案（正方形可旋转），就是7 2 9/6 5 4/1 8 3.换算成题目要求的奇数得到最终答案13 3 17/11 9 7/1 15 5
◎题友 @淏霖的解答：
把图形中的九个点从左至右，从上到下依次设为ABC,DEF,GHI，且A＋C＋G＋I=B＋D＋F＋H，把数1,3,5,7,9,11,13,15,17从两头开始取得到五组数（1,17），（3,15），（5,13），（7,11），（9） 根据观察可知中间数E必等于9，ACGI必取剩下四组数中的两组，BDFH同样必取剩下四组数中的另两组，且每个正方形的数和为36。根据图形可知A＋B＋D＋E=B＋C＋F＋E=D＋G＋H＋E=F＋H＋I＋E=36，E=9。观察四对数容易发现36－9=27=3＋7＋17=5＋7＋15=1＋15＋11=11＋3＋13。出现两次的数分别为3,7,11,15，出现一次的数为1,5,13,17，符合分组原则。故可知A,C,G,I为1,5,13,17（顺序未定），B,D,F,G为3,7,11,15（顺序未定），且可知每组数的位置在图形中是对称的。从而很容易得出八个答案（1,15,5,11,9,7,13,5,17），（1,11,13,15,9,3,5,7,17），（5,15,1,7,9,11,17,3,13），（13,11,1,3,9,15,17,7,5），（5,7,17,15,9,3,1,11,13），（13,3,17,11,9,7,1,15,5），（17,3,13,7,9,11,5,15,1），（17,7,5,3,9,15,13,11,1）。
◎题友 @卞爱华 的解答：
(1)设中间数为x，9个数总和为S。先不考虑斜线，由五个■的和相等知2S 2x被5整除，所以x=9。(2)剩下的数拆成4个10和2组1357，先确定10的位置。首先每个■上不能超过2个10，所以10必定有相邻的情况，同构意义下设为位置↖↑。再考虑有2个10的小■个位数只能取115,133两种，可以确定另外两个10只能在↙→。(3)现在可以确定本题的唯一解(同构意义下)，中间为9，其它为↖13,↑11,↗1,→15,↘5,↓7,↙17。
本期答案整理：子曰 编辑：子曰
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