圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 .
一、圆的切线的判定及相关计算
1.如图，以 △ABC 的边 AB 为直径作 ⊙O，与 BC 交于点 D，点 E 是弧 BD 的中点，
连接 AE 交 BC 于点 F，∠ACB＝2∠BAE .
求证：AC 是 ⊙O 的切线．
例题1图
【分析】连接 AD，利用等弧所对圆周角相等及 ∠ACB＝2∠BAE 可得到 ∠BAD＝∠BCA，
再结合直径所对圆周角为直角即可得证．
证明：如解图，连接 AD.
例题1解图
∵ 点 E 是弧 BD 的中点，
∴ 弧 BE ＝ 弧 DE，
∴ ∠1＝∠2 .
∵ ∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1，
∴ ∠ACB＝∠BAD.
∵ AB为 ⊙O 直径，
∴ ∠ADB＝∠ADC＝90°.
∴ ∠DAC＋∠C＝90°.
∵ ∠C＝∠BAD，
∴ ∠DAC＋∠BAD＝90°.
∴ ∠BAC＝90°，即 AB⊥AC.
又 ∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴ AC 是 ⊙O 的切线．
证明切线的常用方法：
1．直线与圆有交点，“ 连半径，证垂直 ”．
(1) 图中有 90° 角时，证垂直的方法如下：
① 利用等角代换：
通过互余的两个角之间的等量代换得证；
② 利用平行线性质证明垂直：
如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；
③ 利用三角形全等或相似：
通过证明切线和其他两边围成的三角形与含 90° 的三角形全等或相似得证．
(2) 图中无 90° 角时：
利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线，
再根据 “ 三线合一 ” 的性质得证．
2．直线与圆无交点，“ 作垂线，证相等 ”．
2.如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是 △ABC 的外接圆，点 D 在 ⊙O 上，且弧 AD＝弧 CD ,
过点 D 作 CB 的垂线，与 CB 的延长线相交于点 E，并与 AB 的延长线相交于点 F .
(1) 求证：DF 是 ⊙O 的切线；
(2) 若 ⊙O 的半径 R＝5，AC＝8，求 DF 的长．
例题2图
【解析】
(1) 证明：如解图，连接 DO 并延长，与 AC 相交于点 P.
例题2解图
∵ 弧 AD = 弧 CD，
∴ DP⊥AC.
∴ ∠DPC＝90°.
∵ DE⊥BC，
∴ ∠CED＝90°.
∵ ∠C＝90°.
∴ ∠ODF＝90°，而点 D 在 ⊙O 上，
∴ DF 是 ⊙O 的切线；
(2) 解：
例题2解图
∵ ∠C＝90°， R＝5，
∴ AB＝2R＝10.
在 Rt△ABC 中，根据勾股定理可得，BC＝6 .
∵ ∠DPC＋∠C＝180°，
∴ PD∥CE.
∴ ∠CBA＝∠DOF.
∵ ∠C＝∠ODF，
∴ △ABC ∽ △FOD.
∴ CA / DF = BC / OD , 即 8 / DF = 6 / 5 ,
∴ DF = 20 / 3 .
类型二、切线性质的相关证明与计算
3.如图，AB 是 ⊙O 的直径，AC 是 ⊙O 的弦，过点 B 作 ⊙O 的切线 DE，
与 AC 的延长线交于点 D，作 AE⊥AC 交 DE 于点 E .
(1) 求证：∠BAD＝∠E；
(2) 若 ⊙O 的半径为 5，AC＝8，求 BE 的长．
例题3图
【解析】
(1) 证明：
∵ ⊙O 与 DE 相切于点 B，AB 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠ABE＝90°.
∴ ∠BAE＋∠E＝90°.
又 ∵ ∠DAE＝90°，
∴ ∠BAD＋∠BAE＝90°.
∴ ∠BAD＝∠E；
(2) 解：如解图，连接 BC.
例题3解图
∵ AB 为 ⊙O 的直径，
∴ ∠ACB＝90°，
∵ AC＝8，AB＝2 × 5＝10 .
∴ 在 Rt△ACB 中，根据勾股定理可得 BC = 6 .
又 ∵ ∠BCA＝∠ABE＝90°，∠BAD＝∠E，
∴ △ABC ∽ △EAB .
∴ AC / EB = BC / AB , 即 8 / EB = 6 / 10 ,
∴ BE＝40 / 3 .
4.如图，⊙O 的半径 OA＝6，过点 A 作 ⊙O 的切线 AP，且 AP＝8，连接 PO 并延长，
与 ⊙O交于点 B、D，过点 B 作 BC∥OA，并与 ⊙O 交于点 C，连接 AC、CD.
(1) 求证：DC∥AP；
(2) 求 AC 的长．
例题4图
【解析】
(1) 证明：
∵ AP 是 ⊙O 的切线，
∴ ∠OAP＝90°.
∵ BD 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠BCD＝90°.
∵ OA∥CB，
∴ ∠AOP＝∠DBC，
∴ ∠BDC＝∠APO.
∴ DC∥AP；
(2) 解：
∵ AO∥BC，OD＝OB，
例题4解图
∴ 如解图，延长 AO 交 DC 于点 E，则 AE⊥DC，OE＝1/2 BC，CE＝ 1/2 CD.
在 Rt△AOP 中，根据勾股定理可得：OP＝10.
由 (1) 知，△AOP∽△CBD，
∴ BD/OP = BC/OA = CD/AP , 即 12/10 = BC/6 = DC/8 ,
∴ BC = 36/5 , DC = 48/5 .
∴ OE = 18/5 , CE = 24/5 , AE = OA DE = 6 18/5 = 48/5 ,
在 Rt△AEC 中，根据勾股定理可得：AC = 24√5 / 5 .
5.如图，AC 是 ⊙O 的直径，AB 是 ⊙O 的一条弦，AP 是 ⊙O 的切线．
作 BM＝AB，并与 AP 交于点 M，延长 MB 交 AC 于点 E，交 ⊙O 于点 D，连接 AD.
(1) 求证：AB＝BE；
(2) 若 ⊙O 的半径 R＝5，AB＝6，求 AD 的长．
例题5图
【解析】
(1) 证明：
∵ AP 是 ⊙O 的切线，
∴ ∠EAM＝90°，
∴ ∠BAE＋∠MAB＝90°，∠AEM＋∠AME＝90°.
又 ∵ AB＝BM，
∴ ∠MAB＝∠AMB，
∴ ∠BAE＝∠AEB，
∴ AB＝BE；
(2) 解：如解图，连接 BC.
例题5解图
∵ AC 是 ⊙O 的直径，
∴ ∠ABC＝∠EAM＝90°，
在 Rt△ABC 中，AC＝10，AB＝6，根据勾股定理可得：BC = 8 .
由(1) 知，∠BAE＝∠AEB，
∴ △ABC∽△EAM，
∴ ∠C＝∠AME，AC/EM = BC/AM , 即 10/2 = 8/AM ,
∴ AM = 48/5 .
又 ∵ ∠D＝∠C，
∴ ∠D＝∠AMD.
∴ AD＝AM＝ 48/5 .
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