本文原来一万余字现在分成5部分发表这是第1部分，今天小编就来聊一聊关于为什么0.9的无限循环小数等于1?接下来我们就一起去研究一下吧!
为什么0.9的无限循环小数等于1
本文原来一万余字。现在分成5部分发表。这是第1部分。
鉴于有人忘记了0.9…=1的规定，本来想补发一个2000年的《实话实说》节目的一部分视频，但是修改的时候不允许发视频，所以在以后补发吧。
0.9…≠1的有关证明曾于2016年5月经辽宁大学数学系吴世培教授审阅。他认为我的证明根据是现在数学公认的运算，而且有名人的意见做依据（鲁金和柯朗的论述。下文中有引用。），站得住脚。
吴老师是1936年生人，北京师范大学1957年的毕业生。曾经担任沈阳市数学协会理事长。
（有人说，0.9…=1会永远有争论。否。本文终结了这个争论。
真正的困难在于这个结果对实数系等等的冲击。本文所引的哥德尔的话值得思考。他对目前的实数系等等有看法。实数系必须拓展，必须包括无穷大数和无穷小数。
文中有些需要强调之处，利用了黑体字。
《科学美国人》可能对此文有兴趣。我无法查找以前的《科学美国人》。记得以前它发表过认为二者相等的文章。他们如果看到本文，有可能发表。）
欢迎批评指正。注意：请针对我的证明提出批评。不要只基于“已有定论”而否定我的意见。
文章比较长，所以分为5部分发表。今天发表第1部分：逻辑证明。
李长白 沈阳体育学院退休人员 沈阳体育学院退休办 邮编110033
摘要：0.9…=1的写法不妥。利用指数表示法可以证明它是不合逻辑的错误写法的结果。还可以利用微积分中求(1/e)的运算进一步证明0.9…≠1。它提示出实数系需要拓展，把无穷数等等包括到实数系中。
关键词： 0.9…=1-1/10^n(n→∞) (10^n表示10的n次方。下面“^”都表示乘方。)
1/10^n≠0(n→∞) lim(1-1/10^n)^10^n=lim(0.9…)^10^n=1/e＜1=1^n=1^10^n (n→∞)
（《头条》不兼容数学公式编辑器，所以公式表示比较困难。）
实数系拓展
0.999…≠1的证明及冲击（1.逻辑证明）
1 1/3换算成为十进制小数的正确写法（小学）
在小学里，把1/3换算成为十进制小数的正确写法如下：
1÷3=1/3=[1-（1/10） （1/10）]÷3=[1-（1/10）]÷3 （1/10）÷3
=0.3 （1/10）÷3 （1.1）
=[1-（1/100） （1/100）]÷3=[1-（1/100）]÷3 （1/100）÷3
=0.33 （1/100）÷3 （1.2）
=[1-（1/1000） （1/1000）]÷3 （1.3）
…
毫无疑问，在结果是有限数的时候，可以这样一直写下去。只是容易看出，随着位数的增加，比如到了小数点后100，000位，1000，000,000位，…，则写出的数越来越长，书写也就越困难，更不用说要发现问题了。只是对小学生而言，只能这样写。
2利用指数表示法进一步把正确写法坚持到底
利用中学学习的指数表示法把上面的式子重新写出，如下：
1/3=[1-（1/10） （1/10）]÷3=[1-（1/10）]÷3 （1/10）÷3
=0.3 （1/10）÷3 （2.1）
=[1-（1/10^2） （1/10^2）]÷3=[1-（1/10^2）]÷3 （1/10^2）÷3
=0.33 （1/10^2）÷3 （2.2）
=[1-（1/10^3） （1/10^3）]÷3=[1-（1/10^3）]÷3 （1/10^3）÷3
=0.333 （1/10^3）÷3 （2.3）
…
利用指数表示法，可以很容易地写出指数为n的时候式子：
1/3=[1-（1/10^n 1/10^n）]÷3=[1-（1/10^n）]÷3 （1/10^n）÷3 （2.4）
在n是有限数的时候，它表示的是利用十进制小数表示的1÷3准确的结果。式子的两侧完全相等。其中，[ 1-（1/10^n）]÷3表示的是有限循环小数0.3…。注意：小数点后面一定是有限的n个3。同时，能够看出，式子中仍然有一个余数：（1/10^n），必须保留它，而且它仍然需要除以3，以保证式子两侧严格相等。
于是在n是有限数的时候，（2.4）是完全正确的。没有丝毫疑义。[把（2.4）的两侧同时乘以3，整理以后，最终会得到1=1。相信读者能够完成这个运算。]
利用数学归纳法可以证明（2.4）式的正确性。注意：这是潜无穷。[1]
3 1÷3=1/3= 0.333…的写法跨度太大
现在小学就讲授
1÷3=1/3= 0.333… （3.1）
对小学生而言，这个式子的跨度太大了，从有限一下子就跨入了无穷，而且实际上是进入了实无穷！有限和无穷是两个范畴。无穷不但对小学生非常困难，对中学生乃至大学生、甚至数学家也是非常困难的。建议在小学教材中删除之。
4 把1/3换算成为十进制小数的正确写法保持到实无穷的条件下
利用2中的指数表示法，把（2.4）式重新写出：
1/3=[1-（1/10^n 1/10^n）]÷3=[1-（1/10^n）]÷3 （1/10^n）÷3 （2.4）
考虑 n→∞的情况。利用∞代换式中的n，得到
1/3=[1-（1/10^∞） （1/10^∞）]÷3=[1-（1/10^∞）]÷3 （1/10^∞）÷3 （4.1）
这是正确的写法。（4.1）式的两侧严格相等。
5 一个非常重要的等式：[1-（1/10^∞）]÷3=0.3…
有人[2]把上面（4.1）改写成为：
1/3=0.3… （1/10^∞）÷3 （5.1）
显然他认为（4.1）式中右侧前面括号中的数如下：
[ 1-（1/10^∞）]÷3=0.3… （5.2）
即（1-1/10^∞）÷3应该是无限循环小数0.3…。这个认识确实有道理。他的错误在于：他随即删除了（5.1）中的最后一项。他的错误就在这里。[恰恰是这个错误使他推出：
1/3=0.3… （5.3）]
（5.2）式是正确的。它是进一步分析的出发点，非常重要。再仔细看（4.1）式，则容易发现（4.1）式中有两个包含（1/10^∞）的项。他把（4.1）变成（5.1）的时候，则只保留了后面的包含（1/10^∞）的项，但是他忘记了前面一项也同样包含了（1/10^∞）的项。实际上这一项还存在，因为
[ 1-（1/10^∞）]÷3=0.3… （5.2）
需要特别仔细地认真地思考（5.2）式。（5.2）式中，右侧0.3…与左侧的
[ 1-（1/10^∞）]÷3相等说明0.3…中已经隐含着（1/10^∞）这一项！只看（5.2）的右侧写法非常容易使人忽略这一点。那位先生就是这样！他只看到了（5.1）式后面的包含（1/10^∞）的那一项，并且删除了它。但是对（5.1）式右侧前面一项中隐含着的（1/10^∞）这一项却因为没有明显地表示出来而完全忽略了，没有予以相同的处理即同时予以删除。这显然是错误的。
再仔细考察下面三个式子。
1÷3=1/3= 0.333… （5.4）
1/3=[1-（1/10^∞） （1/10^∞）]÷3=[1-（1/10^∞）]÷3 （1/10^∞）÷3 （5.5）
1/3=0.3… （1/10^∞）÷3 （5.6）
容易看出，如果想从（5.5）推出（5.4），必须删除（5.5）中的最后一项即包含 （1/10^∞）的项。
相比而言，（5.5）式的写法更好！因为（5.5）中明显存在存在着两个包含1/10^∞的项，它们符号相反，但是绝对值相同。所以，如果真的要删除（5.5）中的最后的包含1/10^∞的项，则从逻辑上看，必须同时删除前面的包含1/10^∞的项。道理很简单：在同一个运算中，对两个绝对值完全相同的数量，应该或者同时删除，或者同时保留。这样才合乎逻辑！只保留一项，却删除了另外一项，显然不合逻辑！
而在把（5.1）式变成为（5.4）的时候，则常常容易忽略（5.1）中前面一项中隐含着（1/10^∞）这一项。于是虽然（5.1）的写法有道理，但是稍有不慎，就可能导致错误！
[容易发现，如果从（5.5）中同时删除两个包含1/10^∞的项，则得到
1/3=[1-（1/10^∞） （1/10^∞）]÷3=1÷3=1/3 （5.7）
这个才是真正正确的结果！]
因此
1÷3=1/3= 0.333… （5.3）
的结果源于一个逻辑错误！现在应该予以纠正。
所以必须把指数表示法坚持到底。那位犯错误的先生离正确只差一步之遥。当然，关键可能是这位先生没有想到0.9…会不等于1。
6 0.9…=1-1/1^n 的写法是正确的
0.9…=1-1/10^n （6.1）
的写法可以从
1/3=[1-（1/10^n） （1/10^n）]÷3=1÷3=1/3 （2.4）
推出。
也可以从
0.9…=0.9 0.09 0.009 … （6.2）
利用求无穷递缩等比数列前n 项和的公式
Sn=a1(1-q^n)/(1-q) （6.3）
推出。式中a1=0.9,q=1/10。过程略。(注意：a1的1应该是下标。Sn的n也是下标。）
毫无疑问，在n是有限数的时候，这个结果是正确的。可以利用数学归纳法证明。所以在潜无穷的条件下，（6.1）式是正确的。
7 在n→∞的条件下0.9…=1-1/10^n 的写法仍然是正确的
（6.1）式是潜无穷。在n→∞的条件下，即
0.9…=1-1/10^n （n→∞） （7.1）
的时候，此式的右侧则可以认为是实无穷，即把康托尔（Cantor） [3]的思路推广到微积分中。（当然，不是把集合论中的实无穷概念原封不动地照搬到这里。必须具体问题具体分析，所以需要有所改进。）
重要的是，可以很容易地证明1/10^n（n→∞）不是永远等于0。因为在微积分中已经公认
1=10×1/10=10^2×1/10^2=10^3×1/10^3=…=10^n×1/10^n （7.2）
显然，这个结果在n→∞的时候仍然成立。
〈前苏联〉科学院院士、著名的数学家鲁金指出，n×1/n=1，无论何时，恒等于1。在n→∞的情况下亦然。[4]显然鲁金不认为微积分中的 “无穷小”在任何时候都永远可以忽略，即1/n(n→∞)不是真正地、永远地等于0！鲁金的这个结论是数学界的公认的。据此即可推出：
(1/10^n)×10^n=1.(n→∞) （7.3）
0乘以任何数都等于0。
但是1/10^n(n→∞)不然。
所以1/10^n(n→∞)不同于0。证毕。
注释
1 〈英〉罗素《数理哲学导论》[M]晏成书译 商务印书馆 1982年6月第1版31。罗素说得十分清楚：“数学归纳法比别的东西更能表示出有穷的本质特征，有穷与无穷的区别。数学归纳法的原则通常可以叙述成后面的形式：‘能从一个推论到次一个的就能从第一个推论到末一个。’如果从第一个到末一个其间的步骤是有穷时，它是真的，此外不真。”
2请参考 Talk:0.999.../Arguments https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:0.999.../Arguments#tocFrom Wikipedia, the free encyclopedia 中的S — Preceding unsigned comment added by 95.42.185.235 (talk) 12:40, 11 October 2014 (UTC)的评论]
3 格奥尔格·康托尔（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6）德国数学家，集合论的创始人。生于俄国列宁格勒（今俄罗斯圣彼得堡）。http://baike.baidu.com/link?url=Pnxnk6-fP_nZWqKZ8tMcfOK8SPFLvFvs8VnRvx-oxpcL8VecKCcY7nB30AAKt895sFNzJh34SYd3Pfu8HrtgERLGuy8TynaDiYzqMkB2X4Y2gkSBSpbiGyUFCHC8qBXZm2tAglQHTYeztw_sIapF9mxpxCXxaJu7lGFZOj7vdbby4BxDh9Loudhlg84zqhapa7V0WdPxRz4HAOAgRAUAVoTujNms2dlzHUvALmm_lFclc2cT-dqzOUVcsX0Znq6A。
4 鲁金（Лузин，Николай Николаевичлузин，1883-1950.〈前苏联〉科学院院士）《微分学》[M]谭家岱 张理京译 高等教育出版社 1954年上海§39，61-62页。据《Диференциальное исчисление》1954年第4版译。书中的一个定理的注解是这个证明的基本依据。他说，无穷小的“最重要的性质”的“第一个性质 两个、三个，或一般说来，任意个固定个数的无穷小之和仍为一个无穷小。”
随后他在注解中说明：“所证明的无穷小的第一个性质必须要求：所加起来的无穷小的总个数m，一直是固定的，即有限的。
这个限制是绝对不可省的，因为，假若所加起来的无穷小的个数m不是固定的（即非有限的），例如当每项趋近零时，这个个数也无限增大起来，那么第一个性质就可能不对了。在这种情况下，这些无穷小之和α β γ … μ可能不再是一个无穷小。这种情况正是积分学里经常用到的。
例如，我们有n个变量α，β，γ，…，ν，每个都等于1/n，即
α=1/n，β=1/n ，γ=1/n，…，ν=1/n。
当它们的个数无限增加时，每一个量显然都趋近于0，所以它们都是无穷小。但另一方面，它们的和
σ=α β γ … ν=1/n 1/n 1/n … 1/n=n×1/n=1，
无论何时，恒等于1。”
（未完待续）
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