物体与距地球需要保持多远的距离，可以受到地球重力场的影响并以速度V远离地球（质量M）？
感谢你的提问，这是一个非常有趣的问题。
有多种方法可以解答你的疑问，但最简单的是利用“双曲线飞越”假设。当我们假设某物体已非常接近地球，以至于地球的引力影响了整个太阳。这颗小行星相对于地球的速度称为无穷远处的速度，由于该物体没有边界，即具有正能量，其轨迹将是双曲线，焦点位于质心（如果物体具有边界，即具有负能量，如人造卫星，则为椭圆；如果物体具有足够的能量以脱离地球的引力，则为抛物线。椭圆，圆，抛物线和双曲线称为圆锥截面，因为可以通过用平面“切割”圆锥来获得）。
任何椭圆，抛物线或双曲线轨迹的空间状态都需要用六个参数来描述（三维空间任意一个物体，你都需要用六个常数去描述其空间状态。三个用于描述位置，三个用于描述速度）。为解决我们的问题，在这里只需要引入其中两个参数，即偏心率和半长轴。偏心率用于描述圆锥截面的“开放”程度，圆=0，椭圆<1，双曲线> 1。离心率越大，双曲线就越“开放”。半长轴用于描述轨道的大小，圆的半长轴是其半径；椭圆的半长轴对应较长轴的长度。
由于双曲线是一个开放的轨迹，难以将其可视化。其在数学上定义为，双曲线上的任何点到两个固定点的距离之差称为焦距，等于2 * a（对椭圆而言，等于距离之和）。
如果我们称最小距离为q，则在任何圆锥截面上都能表示出该距离。
(1) q=a(1-e)
由于e> 1并且q必须为正数（距离不能为负数），这就是为什么双曲线a在天体力学中通常为负数的原因。为计算出q值，我们首先需要知道a和e的表达式，这些表达式包括了无穷远处的速度，碰撞参数和地球的质量。
假设来自太阳的扰动可忽略不计，该运动是平面的，并且角动量（即粒子位置与其速度的乘积）得以保留。因此，在所有飞越过程中，其初始值为一个常数。
如果我们将D称为冲击参数，那么在t = 0时的角动量h将由下式给出：
(2) h=vinfinityD
其方向沿着z轴的指向。这可能表明，对于任何圆锥形轨道（椭圆形，双曲线或抛物线，举例参见Danby 1998，天体力学基础，Ed。Willmann-Bell，第78-82页）h由下式给出：
(3) h=sqrt{μ*a*(1-e2)}
其中μ是引力常数乘以地球质量m2的乘积。联立方程（2）与（3）可得m2，vinfinity，D（已知）与未知数a和e之间的关系，即（4）sqrt {μ* a *（1-e2）} = vinfinityD
此时我们需要另一个方程，这可能量守恒定律得到。如果我们考虑小行星的质量为1，任何情况下其能量在都可由下式给出：
(5) E=-μ/r v2/2
即势能和动能的总和。在t = 0，v = vinfinity且与中心的距离r很大时，第一项可忽略不计。对于任何轨道，其能量也可以定义为（参见Danby，第63-65页）：
(6) E=-μ/2a
我们最后联立方程（5）和（4）（无穷大）可得：
(7) a=-μ/vinfinity2
（这是一个负数，因为它为双曲线）。将（7）代入（4），可得：
(8) e2=1 vinfinity^4*D2/μ2
最后，q由下式给出：
(9) q=-Gm2/vinfinity(1-sqrt{1 vinfinity4*D2/μ2}
这是你提出的问题所需要的表达式，它由地球质量，无穷远处的速度和冲击参数得出 。
但是，在此推导过程中，我们忽略了太阳的扰动。实际情况中，我们也应考虑太阳的影响，这就是天体力学中所谓的“三体”问题。不过该问题没有精确的解析解（但可以通过利用数学方法找到近似解）。其中一种是使用辛积分方法，这是一个轨道参数演算的程序，可以通过数学方法计算在一个中心物体和多个扰动子的重力影响下物体的轨道参数。
但你的问题非常复杂，因为小行星正从太阳重力影响区转移到地球重力占主导的区域。新的辛积分方法已经被用来解决这个问题（利维森和邓肯的SyMBA方法，J. 钱伯斯的水星法），并且已经可以研究一些有趣的问题，例如大型小行星与小行星家族成员亲密接触的长期影响（5亿年）。
作者: curious
FY: a
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