这是最近看到的一道题目，让我先具体说下题目要求吧。在内壁表面积一定的情况下，什么形状的开口容器可以装最多的液体。再具体一点，有1000平方米的铁皮，你可以将它重新熔化成你想要的形状的顶端开口的容器，无论如何这个容器的内表面面积不变，这个容器最多装多少体积的水？
试算了两个形状，一个是圆柱体，一个是半球形，当然都是顶部有一个水平切口的情况。设表面积为S，体积为V
1）如果是圆柱形，设圆柱的底面半径为r,高为h
得到
替换h 得到
（1）
(2)结合（1）（2），求导，得到
时候，该圆桶容量最大
#用python画了个图像
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
S = 1000
PI = 3.14
R = np.linspace(0, math.sqrt(S/PI), 1000)
V = R*(S-PI*R**2)/2
plt.plot(R,V,color='red',linewidth=0.5)
plt.show()
大致画了了个图像，显示表面积为1000时圆柱容器容积的走势
2）现在换成球缺或者球型来计算。
球缺的表面积计算公式
(3)
带入体积计算公式
求导
当
时，
,结合（3），此时 h=r
取得最大容积,此时
随便画画图像
import math
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
S = 1000
PI = 3.14
H = np.linspace(0, math.sqrt(S/PI), 1000)
V2 = S*H/2 -(PI*H**3)/3
plt.plot(H,V2,color='green',label='$V2$',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.show()
显示表面积为1000时球缺容积的走势
可以看到表面积是1000的时候，圆柱体积小于3500，而如果是半球形的，体积为 4206多点。
,
