今天,老高就给大家讲一讲复数和简谐运动

简谐运动在生活中很常见,也许大家不曾注意。然而,这些数学和物理都是实实在在的东西,简谐运动的公式究竟长什么样子呢,不要着急,就让老高一步一步带大家揭开它的神秘面纱吧。

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(1)

我们首先向大家介绍复数的概念:

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(2)

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(3)

a是一个复数

那么,我们可以知道a的共轭:

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(4)

而:

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(5)

由勾股定理得到的公式

这里用到一个技巧:

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(6)

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(7)

幅角

我们把如图的这个角称为幅角。

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(8)

我们科普爱好者常常谈到欧拉,那么大家知道欧拉方程是什么吗?

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(9)

大数学家欧拉

它长这个样子:

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(10)

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(11)

接下来,我们要通过复数的技巧来分析物理中的共振现象,我们以物体的振动为例,振动所产生的力可以写成这个形式:

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(12)

式中的F0是力的最大值,因为cos最大不过1

而我们知道:

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(13)

角度等于角速度乘以时间

这里,聪明的前人对以上的公式做了整合:

联立下式,可以得到

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(14)

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(15)

因为物理中没有一个力会是复数,实际的力也没有虚部,只有实部,但是我们要以上式来表述力,这样就成了指数的代数运算,使得运算得以简化。

我们现在用以上所学的复数知识来解一个方程:

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(16)

这个方程是不是似曾相识呢,对啦,他就是弹簧的简谐运动的方程。

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(17)

式子k是弹簧的弹性系数,m是质量,x是位移量。

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(18)

那么,精彩之处来了:

我们假定x和F是真正的复数,尽管这样做有些荒谬,但这仅仅是数学上的目的,这就是说,x有一个实部和一个虚部乘i(注意,实际中位移只有实部,这里是数学技巧)

我们把复数带入上面的微分方程:

Xr表示实位移,Xi表示虚位移,Fr表示实际存在的力,Fi是虚的力。

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(19)

最终,我们能得到一个精美的复数形式方程:

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(20)

假设我们要表示一个力,它是余弦波,相位滞后了一个△,我们把它写成F帽的形式,这一做是为了提醒我们,这个量是复数:

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(21)

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(22)

联立以上的公式,将(iw)^2代入微分方程中,我们就把微分方程变成了纯粹的代数方程,于是我们实际中就可以得出一个

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(23)

复数形式下的简谐运动方程

式中x帽代表了复数下的位移量

我们把w0称为固有频率,当w接近w0时,分母趋于0,这个x帽将变得非常大,我们会得到一个非常强的响应。

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(24)

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(25)

创作不易,喜欢就请点个关注、点个小赞吧,笔者写作的极大动力来自诸君的支持。关注作者,即可得到最新的数学物理干货、历史和趣闻分享!

物理简谐运动讲解(复数和简谐运动)(26)

,