矩阵乘法运算的前提条件（矩阵乘法的性质）

本文是吴恩达《机器学习》视频笔记第17篇，对应第1周第17个视频。

“Linear Algebra review(optional)——Matrix multiplication properties”

上次视频中可知，矩阵与矩阵乘法可以将很多运算打包到一个式子里来进行运算处理，在数据挖掘、图像处理等领域是居家必备之神器。本次视频讲解矩阵和矩阵乘法的性质。

在实数的乘法中，是有交换律的，矩阵与矩阵乘法有没有交换律呢？即：

而且，更严重的是，有时候俩矩阵相乘，交换一下顺序可能变成非法的运算式子了（因为可能会让左边矩阵的列和右边矩阵的行不相等了）。

实数乘法中有结合律，矩阵和矩阵乘法也满足结合律。即：A×B×C=（A×B）×C=A×（B×C）。

耐心的同学，可以用上节讲到的矩阵和矩阵乘法的定义来证明一下结合律。

在实数乘法中，有一个特殊的数1，任何数乘以这个1它的值都不会发生变化。类似的，在矩阵乘法的世界里也有个类似的东西，叫做单位矩阵。

对于单位阵，我们一般用英文字母 来表示。

单位阵，只有主对角线上的元素为1，其它位置的元素全部为0. 在一些手写的场景下，也常被写成下图的样子，即只写主对角线上的1，其它位置用大大的0来表示。

单位矩阵有个非常好的性质，即对于任意矩阵都有下面的式子成立：

值得注意的是，上面的式子中的两个单位矩阵I它并不是同一个。本文开头就说了矩阵和矩阵乘法不满足交换律，但是到了单位矩阵这里为什么又满足交换律了？就是因为单位阵它能屈能伸，根据另外一个矩阵及时调整了自己的维度。