什么是无理函数（怎样求无理函数值域）

无理函数的值域问题时，普遍采用的是“判别式法”，但由于无理函数的定义域一般不为R，所以在解题过程中容易扩大自变量的取值范围，使用“判别式法”失效。

下面归纳常见的无理函数类型及解法，使得在求无理函数的值域时避开“判别式法”。

一、形如“

”的函数

例1、求函数

的值域。

解析：令

，则

且

，则

。当

，即

时，

，当

时，

。故函数值域为

。

总结：此法适用于根号内外自变量的次数相同的无理函数，一般令

，将原函数转化为t的二次函数，当然也适用于“

”的函数。

二、形如“

”的函数

例2、求函数

的值域。

解析：由

。令

且

[

]，则

。

由

，得

。

当

时，

；

当

时，

。

故函数值域为

。

总结：这类函数根号内外自变量的次数不同，不适合第一类型的解法。又

且

的函数定义域一定为闭区间，如

，则可作三角代换为

且

，即可化为

＋k型函数。至于

且

及其他类型，同学们可自己分析一下。

三、形如“

”的函数

例3、求函数

的值域。

解析：由

，得

。

令

且

，

则

。

由

，得

，

则

，故函数的值域为

。

总结：此法适用于两根号内自变量都是一次，且

，此时函数的定义域为闭区间，如，则可作代换

，且

，即可化为型的函数，无理函数类型有多种，这里不再赘述，有兴趣的同学不妨探讨一下。

▍ 编辑：Wulibang（ID：wordwuli）

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