在中国文化里，有句成语这么说道：九九归一，意思是算来算去最后还是回到最初，还了原，归根结底也算是九九归原。
这句成语蕴含着周而复始的意思，在数学里也得到完美的体现。我们从整数0开始数1，2，3，4，5，6,7,8,9，经过十进制的处理，又从0开始。
我们再来看下面这样一个算式：
1/3×3=1.
对于这样的等式计算，大家都很容易理解。
不过，有些人却提出异议：
认为1/3=0.333……（无限循环小数）；
所以1/3×3=0.333……×3=0.999……（无限循环小数）
又因为1/3×3=1，
所以0.999……=1，但0.999……=1吗？
对于无限循环小数0.999……，我们从常规的角度去理解，就是小数点后面有无数个9，不过，这里有个疑问：
0.9＜1，
0.99＜1,
0.999＜1，
0.9999＜1，
以此类推，有人就提出这样的结论：无限循环小数0.999……＜1，最多只能是无限接近于1。因此，对于“0.999……=1？”这个问题，自从几百年前被某位数学家提出来之后，一直到现在还是一个争论不休的话题。虽然很多数学家都提出一些比较严谨的证明方法，但始终无法让普通人以平常的视角去接受这个等式。
之后，有人给出了这样一个的证明过程：
设x=0.999……①
所以10x=9.999……②
②-①两式相减得9x=9，
所以x=1.
对于这样的证明过程，有人认为可以把0.999……看成无限个分数的和：
0.999……=9/10 9/100 9/1000 ……
因此，这些人认为0.999……代表着一个计算过程的结果，而“1”又是另一个数，缺少一定的严谨，怎么可以等价起来呢？
问题的争论的焦点就集中在“0.999……”到底是一个结果，还是代表着一个过程，这就是数学里所谓的二义性。
什么是二义性？
某个句子存在不只一棵语法树，则称该句子是二义性的。
其实像“0.999…=9/10 9/100 9/1000 ……”这个无限的过程，我们也可以理解成一个数。
如一开始用“1/3=0.333……”去证明“0.999……=1”，很多人都相信这个证明过程是对的，主要是一开始在潜意识里认为第一步“1/3=0.333……”就是对的，基于这样的原始认知，后面的证明过程也就没有问题。
从某角度上来看，无论是“1/3=0.333……”还是“0.999……=1”，本质上都是一样，当你承认其中一个成立的时候，另一个自然也就成立。不过，无论是哪一种情况，很多人会认为0.999……只是无限接近于1，并不能很严谨、很准确的说明这个值就一定等于1。
这个问题深耕的结果，就是造成很多人也认为0.333……无限接近于1/3，但并不能直接说明等于1/3。
虽然在某些算式里，我们已经能去证明“0.999……=1”，但在0.999……这个无限循环小数里，每增加一个9，无非代表这个数无限接近于1，但实际上给人的感觉就是0.999……本身是比1小的。
接近是一回事，等价又是另一回事。
有的数学家就提出新的证明思路，既然有无穷个“9”，那么就用极限的概念去证明。
后出现了集合论，又给出如下的证明过程：
给定一组区间套，则数轴上恰有一点包含在所有这些区间中0.999……对应于区间套[0,1]、[0.9,1]、[0.99,1]、[0.999,1]……，而所有这些区间的唯一交点就是1，所以0.999……=1。
或者是这样的证明：
所有比0.999……小的有理数都比1小，而可以证明所有小于1的有理数总会在小数点后某处异于0.999……（因而小于0.999……），这说明0.999……和1的戴德金分割是一样的集合，从而说明0.999……=1。
对于“0.999……=1”的证明，随着数学的发展，其证明方法越来越多，也越来越完善和严谨，但始终没有解决其中的疑虑：0.999……只是无限接近于1，应该是小于1，为什么一定会等于1呢？
如何证明“0.999……=1”，估计还会争论很久，或许在将来某个时刻会因为这个证明诞生更伟大的数学成果，也有可能就是一个无法解决的问题。不过，这也正是数学的魅力所在，往往一个问题的出现，其解决过程会推动数学某些领域，甚至影响其他学科的发展。
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