鸭爪定理之二
1、已知H为△ABC垂心，D在△ABC外接圆O上，DH中垂线交AB、AC于E、F。
求证：AEDF共圆；
这是铁一中学生蒋若曦问我的一个问题，不太确定出处。此题条件简洁，结论优美。证明又不太容易。是一个难得的好题。
思路分析一：此题难在如何描述垂心H及DH中垂线EF。特别是中垂线，很难利用。
经过一段时间探索，看到DH中点G，我突然想到垂心的一个重要性质——斯坦纳定理（参加《鸭爪定理之一》），由此定理得D对△ABC西姆松线过G，然后通过共圆即可得到结果。
证明一：如下图，作DI⊥BC于I,DJ⊥AB于J,
由斯坦纳定理知GIJ共线。
由垂直得DJEG、DBJI共圆，
故∠DEF=∠DJI=∠DBC=∠DAC,
则AEDF共圆。
对于这个证明，我不是太满意，感觉其过于依赖斯坦纳定理，对于不知道此定理的人似乎不可能做出来。考试中，遇到此题，严格书写解答的时候，必须要先证明斯坦纳定理作为引理，直觉上觉得此证明应该绕了弯路。但我一时又没想出来其他的办法证明。这个题就一直记挂在我的脑海中。直到有一天，我用鸭爪定理解决了一个相关的问题。联想到这个题目，又重新从鸭爪定理角度重新审视这个问题，发现可以用鸭爪定理给出一个相对简单的证明。
思路二：设CH交圆O于H’，由鸭爪定理及中垂线得△DHH'外心，由圆心角及圆周角关系倒角即可证明。
证明二：作H关于AB对称点H',由EF为DH中垂线知E为△DHH'外心；
由鸭爪定理知H'在圆O上且CHH'共线，
由圆心角为圆周角两倍知
∠DEF=∠HED=∠CH'D=∠DAC，
则AEDF共圆
注：证法二中想到鸭爪定理，发现外心，巧妙倒角，证明明显自然简洁了许多。
后来我又对此问题进行了推广，得到以下命题：
2、 已知H为△ABC垂心，D在△ABC外接圆上，D、D'关于BC对称，P在D'H上，PD中垂线交AB、AC于E、F；
求证：A,E,D,F共圆；
思路分析：此题是上题推广，解题思路当然应该也是类似。
斯坦纳定理似乎不好做了。自然选择利用鸭爪定理。
如法炮制延长CH交圆于H'，则H、H'关于AB对称。
类似作出P关于AB的对称点P'，同理得到E为△DPP'外心。
延长HD'交AB于L，从而
A,E,D,F共圆<=>∠DAF=∠DEF
<=>∠DH’C=0.5∠DEP
<=>∠DH'H=∠DP'P,
<=>DLH'共线。这样就能消去P，得到下图。
由D、D'关于BC对称得
∠BD'C=∠BDC=180°-∠BAC=∠BHC,
故BD'HC共圆，从而
∠LH'H=∠D'HH'=∠D'BC=∠DBC=∠DH'C,
则DLH'共线。从而结论成立。
注：知道此题来源，对本题证明很有启发性，基本证明思路也是一脉相承的。
3、已知△ABC外接圆为圆O，H为其垂心，D在外接圆上，DH中垂线交AB于K，
求证：∠AKO=∠DAC
思路分析一：看到K在DH中垂线上，我对斯坦纳定理比较熟悉，自然联想到它。
与上题类似得到D的西姆松线过DH中点M，
又由△DKH∽△DOC可得△DKO∽△DHC，
以下倒角即可得到结果
证明一：作DI⊥AB，DJ⊥BC，设IJ交DH于M，由斯坦纳定理知M为DH中点，
KM⊥DK，由垂直得DBIJ,DIKM共圆，则∠DOC=2∠DBC=2∠DIM=2∠DKM=∠DKH,
则△DKH∽△DOC，由旋转相似性质得△DKO∽△DHC；
又CH//DI，则∠DKO=∠DHC=∠HDI=∠AKM,
则∠AKO=∠MKD=∠MID=∠DBC=∠DAC.
思路二：类似上题，可以考虑用鸭爪定理绕开斯坦纳定理，简洁的证明本题。延长CH交圆O于H’，由鸭爪定理得KH=KH’，故K为△DHH’外心，则OK⊥H'D，倒角即得。
证明二：延长CH交圆O于H’，由鸭爪定理得KH=KH’
则K为△DHH'外心，
又H'D为两圆公共弦，故OK⊥H'D,
故∠AKO=∠DH'C=∠DAC。
注：对比以上连个证明显然证法一绕到了第一题中的斯坦纳定理及第一题的解法，略显复杂。证法二由鸭爪定理另辟蹊径，绕开第一题，迅速解决了本题。
4、已知：O、H为△ABC外心、垂心，D、E在ＡＢ上，且ＡＤ＝ＢＥ，
P、Q在外接圆上，且AP//OD,PQ//BC,
求证：EQ=EH （公众号“我们爱几何” 20080208 作者：老封）
思路分析：初看本题，似乎比较陌生，不好入手。仔细分析发现似乎和上题有联系。进一步探索发现其实是上题的逆命题，从而可以类似证法二迅速证明本题。
证明：延长CH交圆O于H’，
由鸭爪定理得KH=KH’，
由QP//BC得∠QH'C=∠BAP,
又由AD=BE及OD//AP得
∠DEO=∠ODE=∠PAB=∠QH'C,
又CH'⊥AB，故QH'⊥OE,
由垂径定理得EH'=EQ,
即EH=EQ。
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