高考椭圆专题知识点梳理(吃透高考重难点)(1)

椭圆这一块知识一直是解析几何的核心内容之一,更是高中数学学习的重点、难点,因此自然成为高考数学命题的热点之一。

椭圆相关的高考题型一般比较新颖,包含各种各样的解题方法,如平面向量与解析几何的融合,提高了题目的综合性,形成了题目多变,解法灵活的特点。

平面内到两个定点F₁,F₂的距离之和等于常数(大于|F₁F₂|)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点F₁,F₂间的距离叫做椭圆的焦距。

椭圆的定义中应注意常数大于|F₁F₂|。因为当平面内的动点与定点F₁,F₂的距离之和等于|F₁F₂|时,其动点轨迹就是线段F₁F₂;当平面内的动点与定点F₁,F₂的距离之和小于|F₁F₂|时,其轨迹不存在。

高考椭圆专题知识点梳理(吃透高考重难点)(2)

椭圆有关的高考试题分析,典型例题1:

在平面直角坐标系中,直线√2x-y m=0不过原点,且与椭圆y²/4 x²/2=1有两个不同的公共点A,B.

(Ⅰ)求实数m取值所组成的集合M;

(Ⅱ)是否存在定点P使得任意的m∈M,都有直线PA,PB的倾斜角互补.若存在,求出所有定点P的坐标;若不存在,请说明理由.

高考椭圆专题知识点梳理(吃透高考重难点)(3)

考点分析:

直线与椭圆的位置关系.

解题反思:

(1)由直线√2x-y m=0不过原点,知m≠0,将√2x-y m=0与y²/4 x²/2=1联立,得:4x² 2√2mx m²-4=0,由此利用根的判别式,能求出实数m的范围组成的集合M.

(2)假设存在定点P(x0,y0)使得任意的m∈M,都有直线PA,PB的倾斜角互补,则kPA kPB=0,令A(x₁,√2x₁ m),B(x₂,√2x₂ m),得:2√2x₁x₂ (m-√2x0-y0)(x₁ x₂)2x0(y0-m)=0,由此利用韦达定理能求出所有定点P的坐标.

高考椭圆专题知识点梳理(吃透高考重难点)(4)

椭圆有关的高考试题分析,典型例题2:

已知椭圆C₁:y²/a² x²/b²=1(a>b>0)的顶点到直线l:y=x的距离分别为√6/2,√2/2.

(1)求椭圆C1的离心率;

(2)过圆O:x2 y2=4上任意一点P作椭圆C1的两条切线PM和PN分别与圆交于点M,N,求△PMN面积的最大值.

高考椭圆专题知识点梳理(吃透高考重难点)(5)

高考椭圆专题知识点梳理(吃透高考重难点)(6)

考点分析:

椭圆的简单性质.

题干分析:

(1)根据点到直线的距离公式,即可求得a和b的值,即可求得椭圆的离心率;

(2)分类讨论,当一条切线的斜率不存在时,Xp=±√3,yP=±1,即可求得△PMN面积,当切线的斜率存在时,设切线方程,代入椭圆方程,由△=0,由PM⊥PN,MN|=4.S△PMN=1/2|PM|·|PN|≤1/4(|PM|² |PN|²)=1/4|MN|²=4,即可求得△PMN面积的最大值.

高考椭圆专题知识点梳理(吃透高考重难点)(7)

椭圆有关的高考试题分析,典型例题3:

过椭圆C: x²/2 y2=1的右焦点F的直线l交椭圆于A,B两点,M是AB的中点.

(1)求动点M的轨迹方程;

(2)过点M且与直线l垂直的直线和坐标轴分别交于D,E两点,记△MDF的面积为S1,△ODE的面积为S2,试问:是否存在直线l,使得S1=S2?请说明理由.

高考椭圆专题知识点梳理(吃透高考重难点)(8)

高考椭圆专题知识点梳理(吃透高考重难点)(9)

考点分析:

直线与椭圆的位置关系;轨迹方程.

题干分析:

(1):(1)设点M的坐标为(x,y),A(x1,y1)、B(x2,y2);过椭圆C:x²/2 y2=1的右焦点F(1,0)的直线l为:y=k(x﹣1),联立方程组,消去y,整理得(2k2 1)x2﹣4k2x 2k2﹣1=0,求出动点M 坐标,消去参数k,即可得到 动点M的轨迹方程

(2)假设存在直线AB,使得 S1=S2,确定G,D的坐标,利用△GFD∽△OED,即可得到结论.

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