线性变换为旋转变换公式（大旋转角坐标变换非迭代公式）

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摘要

针对求解７参数的过程中，经典的线性化最小二乘法因需线性化、迭代及初值以及存在算法耗时出现不收敛现象的问题，该文对无须迭代的７参数坐标变换公式进行了研究。为避免各类参数间的相关性，采用消去法并按照依次求解旋转参数、比例系数和平移参数的顺序解得坐标变换参数。先利用最小二乘法求解旋转参数，然后通过构建目标函数的方式求解比例系数与平移参数，最终得到无须线性化、无须迭代、无须初值的，可用于大旋转角的７参数坐标变换公式。与线性化最小二乘方法进行相比，该方法具有相当的精度及更高的运算效率，可在一定程度上丰富坐标变换理论。

引用格式：边少锋，李忠美，纪兵，等．大旋转角坐标变换非迭代公式［Ｊ］．测绘科学，２０１７，４２（９）：４３-４８．

正文

在测量学中，研究坐标系间变换模型对于实现不同坐标系成果转换具有重要的实际价值及理论意义。实现坐标变换需要解求７个参数，其中包含３个旋转参数、３个平移参数和１个比例系数，其经典的解算步骤是将其线性化后利用最小二乘法通过迭代逐渐趋近求解，这种方法思路清楚，易于理解，但是在初始值不好的情况下，极易出现迭代不收敛的情况。因此，国内外学者曾尝试不同的方法来改善传统的解法，如将高斯雅可比组合算法或Ｇｒｂｎｅｒ基理论应用到７参数求解中，利用计算机代数系统求解各变换参数的表达式。文献［７］考虑了数据的先验观测信息，为每个观测点赋予合适的权值，推导出了带权的７参数求解非线性化模型；文献［８］提出了以方向余弦为参数，适用于任意角度旋转的坐标转换简便模型；文献［９-１０］引入四元数来描述旋转矩阵，给出了基于四元数的非迭代坐标变换模型；文献［１１］通过对任意两组观测点的坐标作差并对其单位化，依次求解各变换参数最终实现无须初值、无须线性化的求解方法；文献［１２］综合考虑了两个坐标系统的观测误差，给出了严格的三维变换非线性模型；文献［１３-１５］利用总体最小二乘的方法，通过建立目标函数求得使其极小的７参数。

可以说，关于坐标转换的研究已取得了卓有成效的成果。考虑到坐标变换中旋转矩阵为正交矩阵，可利用斜对称矩阵对其进行表示。但文献［４-６］并没有充分利用这一优势，所给出的７参数变换方法过程繁琐，而四元数方法又增加了待求参数的个数。鉴于此，为丰富坐标变换理论，为大旋转角坐标变换提供一种稳定模型，受以上文献启发，本文拟借助斜对称矩阵表示旋转矩阵，通过构建目标函数推导出可适用的大旋转角的，无须初始值、无须线性化、无须迭代的７参数坐标变换公式。

根据旋转矩阵的正交特性，利用斜对称矩阵对其表示，在不增加待求参数个数的前提下，通过将观测数据重心化、单位化，依次单独求解旋转参数、比例系数及平移参数，避免了各类参数间相关性引起的病态问题，得到可用于大旋转角的坐标变换公式。与传统线性最小二乘法相比，该公式具有无须线性化、无须迭代、无须初始值的优势，可以避免因初始值不好而引起的迭代不收敛问题，同时减省了因迭代而引起的时间耗费。当对时效性要求较高或传统线性化最小二乘方法不收敛时，本文７参数坐标变换非迭代公式可以作为一种选择，一定程度上丰富了坐标变换数学基础。

2017年（第42卷）第9期

线性变换为旋转变换公式（大旋转角坐标变换非迭代公式）(1)