定理31:圆上任意一点到圆外直线l的距离,最大为d r,最小为,d-r,d为圆心到直线的距离,r为半径
通过这一简单的结论,在一些习题中遇到有关的题目,可以为我们提供解题的关键思路;只需要背下这个公式,即可做到秒杀该类型的题目,大大缩短了做题时间。
我们先证明一下这个公式:
证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离,最大为d r
画一图,过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l,交圆于Po和N点,垂足为M2,可知Po到直线l的距离为d r(d为圆心O到直线l距离即OM2长)
再任取圆上一点P(除Po外)做直线l的垂线垂足为M1,P到直线l距离为PM1长
连接PPo和PN,构成圆内直角三角形,可∠PoPN为直角,∠PoPM1为钝角;
过P做PoM2的垂线垂足为M,(由于∠PPoM2为锐角所以点M在线段PM2上)可知PMM2M1为矩形,PM1=MM2<PoM2
即PoM2=d r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最大值
(2) 证明圆上的任意一点到圆外直线l的距离,最小=d-r
我们同样画一张图,过圆心O作一直线垂直于右边的圆外直线l,交圆与Po和N点,垂足为M2,可知Po到直线l的距离为d-r即PoM2长(d为圆心O到直线l距离即OM2长)
再任取圆上一点P(除Po外)做直线l的垂线垂足为M1,P到直线l距离为PM1长
连接PPo和PN,构成圆内直角三角形,可∠PoPN为直角,∠NPM1为钝角
过Po做PM1的垂线垂足为M,(由于∠PoPM1为锐角所以点M在线段PM1上)可知PoMM1M2为矩形,PM1>MM2=PoM2
即PoM2=d-r为圆上任意一点到圆外直线l的距离最小值
接下来,我们用一道例题来展示一下这个公式的简便性与实用性。
(2013春•金安区校级月考)
【直接记住结论解题】
首先运用数学三招的第一招翻译,
再利用直线的斜截式方程得出切线的方程是y 1=﹣(x 1),
化简得切线的方程是x y 2=0
最后通过我们的盯住目标,目标是求圆上任意一点到直线l距离的最小值,立马联想到我们的定理31:圆上的任意一点到圆外直线l的距离,最小为d-r
但我们要先判断直线是否在圆外,我们需要算一下圆心(3,2)到直线l的距离
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