早在公元前三世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，就用反证法漂亮的证明了“素数有无穷多个"的理论欧几里德证明的高明之处是：他並不告诉后人这"无穷多个素数"到底埋藏在什么地方？自欧几里德以后，世界上几乎所有的数学大师和一代又一代的数学精英都围绕着"素数通项公式"和“素数分布规律这两根主线，力图挖掘到欧几里德埋藏了2千多年的无穷无尽的素数珍宝，时至今日，並无一人取得成功国际数学届普遍认为，素数在自然数中不遵循任何规则和模式，有的数学家还认为，自然数中不可能存在这样的公式，今天小编就来聊一聊关于三个彼此互质自然数都有哪些?接下来我们就一起去研究一下吧!
三个彼此互质自然数都有哪些
早在公元前三世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，就用反证法漂亮的证明了“素数有无穷多个"的理论。欧几里德证明的高明之处是：他並不告诉后人这"无穷多个素数"到底埋藏在什么地方？自欧几里德以后，世界上几乎所有的数学大师和一代又一代的数学精英都围绕着"素数通项公式"和“素数分布规律这两根主线，力图挖掘到欧几里德埋藏了2千多年的无穷无尽的素数珍宝，时至今日，並无一人取得成功。国际数学届普遍认为，素数在自然数中不遵循任何规则和模式，有的数学家还认为，自然数中不可能存在这样的公式。
然而，假如我们以从小到大的n个素数的最小公倍数为周期循环，把自然数排列成级差为△的△个等差数列覆盖的《n级自然数表〉。利用△的功能和性质，根据任意自然数N是否满足（N△）=1的条件，把〈n级自然数表》划分为相对分流，相对独立的“n级素数表"和“n级合数表"两个世界。在“n级合数表"中，除首项外，我们无法再看到一个素数。在“n级素数表“中，当n取值较小时，"n级素数表"是混沌杂乱的，但随着n值的提升，表的素性会越来越高，当n提升超过一个“界定值"（比如n≥百亿）后，惊人的奇迹出现：自然数的整体构造竞是两个无限逼近100%的“全素数表"和“全合数表“的有机组合。从而揭开了素数分布规律的千古谜团，找到了欧几里得埋藏了23个世纪无穷无尽的素数珍宝，实现了一代数论泰斗高斯关于“在自然数中把素数和合数鉴别开来"的生前愿望。
△=[m1m2…mn]在“n级自然数表"中为什么能对素数和合数的解体和分流发挥如此奇特的功效呢？因为△同时具备最小公倍数，公变周期、素数连乘积、数列公差…等诸多功能和牲质，它还包含有n个素数的素因子，△在自然数体系中，就象是一把巨大的“筛子“，把自然数分隔为：“素数“和“合数"相对分流的两个区域。因为△与不大于mn的素数都存在有非"1"公因子，K△（k=0.1.2…）与不大于mn的素数之和，一定都是合数等差数列，而被△“筛除"到“n级合数表"中去。又因为△与大于mn的素数和“全大于mn的素因子合数"以及“±1"都不存在非“1"公因子，这三种数与K△（K=0.1.2…）之和所形成的等差数列都会产生无穷多个素数，而被△保存在余留下来的自然数中，组成“n级素数表"的全部阵容。当n值较小时，△中的素数个数少，从△中"筛除”的素因子合数等差数列也少，余留在“n级素数表"中的中、小素数产生的“全大于mn的素因子合数”分布密集，“n级素数表"就呈现出素合混杂的混沌现象。当n提升超过一个“界定值"（比如n≥100亿）后，大于mn的素数产生的“全大于mn的素因子合数“因量变引发质变"，而整体进入无限趋于零的状态。此时整个自然数体系的构造，就是两个趋于100%的"全素数表"和“全合数表“的有机组合。但是，无论n取值多大，“全合数表中“总存在有1/∞的素数，因为素数是生成合数的源头，沒有1/∞的素数，合数就成了无源之水，无本之木，就不存在了。在"全素数表"中，无论n取值多大，也总还存在有1/∞的“全大于mn的素因子合数“。“金无足赤，人无完人"，世界上不存在完全纯淨的物质，这也许是一种哲理吧！
综上所述，无穷无尽的大素数並不需要我们用高深的数学理论和复杂的运算程序才能获得。我们只要按自然数顺序排列到n≥100亿的△位置，凡是满足（N△）=1的原生自然数与K△（K=0.1.2…）之和N K△（K=0.1.2…）就是一个无穷无尽的素数公式，这样的素数公式在“全素数表“中是取之不尽，用之不竭。利用这些公式就可以在自然数中获得说要多大就有多大，说要多少就有多少的大素数，越是超级大素数就越容易获得。对于等级较低的“n级素数表“，我们可以通过计算机编程，排除那些干扰严重的"全大于mn的素因子合数"，就能获得任意数域、任意区段、任意大小的顺序素数表。
无穷无尽素数表的实现，使得历代数学家们劳苦终生而不得其解的许多世界难题和猜想势如破竹，迎刃而解。19世纪伟大的德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家大会上提出的23个数学问题中的第8问，也就是长期困扰人类的黎曼猜想，哥德巴赫猜想，和孪生素数猜想，以及历史遗留下来的三生、四生、五生…n生素数猜想都成了自然数中素数排列的普通客观现象而不证自明，不攻自破。数学家们长期爭论不休的许多科学问题，如：素数在自然数中的疏密问题、素数间隙问题、任意宽广的连续合数区问题、任意长的素数等差数列问题、无穷无尽的素数生成原理…等都会得到科学合理的解释或证明。人类终于找到了打开素数大门的金钥匙。
“n级素数表"从低级表的混沌，逐渐走向高级表的齐整有序。在辽阔的自然数中构造了一个素性纯洁度象万花筒一样千变万化的“n级素数表"系列，为人类获得任意数域、任意区段、任意大小和无穷无尽的顺序素数表，为解决数论领域中的猜想和难题，提供了一个强有力的数学应用工具，巅覆了素数领域的未知世界。为区别于其它种类的素数表，我们把"n级素数表"和“全素数表”系列统称为《孙氏素数表》。下面是当n=100亿时的《孙氏素数表》真实排列情况：
设△=[m1m2…m100亿]令F=1117685924，通过计算得到mn=m100亿
=1117689524291=F291，制表如下：
表1当n=100亿时
《孙氏素数表》
1 k△（k=0.1.2……）
F293 K△（k=0.1.2…）
F351 K△（k=0.1.2…）
F371 k△{k=O.1.2…）
F381 k△（K=0.1.2…）
F411 k△（K=0.1.2…）
：
F293平方 k△（k=0.1.2…
：
（△-F351） K△（k=0.1.2
（△-F293） k△（k=0.1.2
（△-1） k△（k=0.1.2…）
表1就是当n=100亿时《孙氏素数表》素性逼近100%的素数等差数列延伸趋势。从表1看出：整个表是由±1、"大于F291的素数”和“全大于F291的素因子合数“三种数构建的“长城万里素数工程“。这三种数组成的素数等差数列纵队间杂的合数非常稀疏。就拿首排原生数来说，要从大于F291的第一个素数F293起，按顺序素数排列到“F293平方数"（这是一个25位的大数据）才出现第一个“全大于F291的素因子合数"，第二个合数也要排列到“F293×F351"才出现…这样稀疏的合数分布密度是可以忽略不计的。表1中，两两相邻素数等差数列间隙处实际上都包藏着一个由不大于F291的素数生的单个或多个“合数等差数列"的组合区，我们称为“连续合数区"，这些大小不同规模的“连续合数区"的连续组合，就构成了“百亿级合数表"。因此，此时的自然数的构造实际上就是“百亿级素数表"和百亿级合数表"的有机组合。当n=100亿时的《孙氏素数表》的规模究竟有多大？它要从首项素数等差数列1 k△（k=o.1.2…）开始，运行到未项素数等差数列-1 k△（k=0.1.2…）结束，其间包含的素性逼近100%的素数等差数列纵队，若按普通表格排列足以绕地球若干圈，是一个规模宏伟壮观的"长城万里素数"工程。运行路线辅盖面积，不但包含有一个大大小小合数区组合的"全合数表"，同时也覆盖了一个完整的自然数体系，是一个取之不尽，用之不竭的素数等差数列的大集合。据初步归纳，《孙氏素数表》可解决代表性的重大科学问题有：
1.破解千年古题一一孪生素数猜想。我们知道，“±1"虽然不规定为素数，但是它们生成素数的能力却超过任何一个素数。是一组永恒的素数生成源。"1“表示一个周期的开始，"-1"表示一个周期的结束。在n≥2的《孙氏素数表》中，都存在有起始素数生成列和终端素数生成列，这两个距离最远、然而又是最近的素数生成列，构成了一个永恒的、一枝独秀的《孙氏孪生素数表》，这个表示为±1 k△（K=1.2.3.4…）的表，当等级较低时，可用计算机编程算法，以大于mn的素数为模，批量求解同余方程（目前可一次计算100万个模），获得“孪生素数表"中的合数分解式，从而确定“孪生素数”座标。用此法可在n=1.2.3.4…一直延伸到无限……我们都可以获得一个《孙氏孪生素数表》，从而证明孪生素数是无穷的。事实上n並不需要取到“无限”，只要取到n≥100亿（计算机结果证明）《孙氏孪生素数表》就会以几乎100%的生成概率往无穷方向延伸，这就从两个方向，两个渠道完全彻底的证明孪生素数有无穷多。另外在任意一级的“全素数表"中，首项原生数中必然出现间距为2的孪生素数组成的素数等差数列往无穷方向延伸也可证明孪生素数的无穷性。
《孙氏孪生素数表》另一个重要用途是：±1 k△（k=1.2.3…）这两个素数生成列的合数分解式，就代表了覆盖自然数的△个数列的合数分解式（用±1的所有合数因子解去乘数列首项），这也就意味着自然数的合数分解可以全盘性的齐整有序的进行。同时还可检测“全素数表"的素性。
2.破解久攻不克的哥德巴赫猜想。《孙氏素数表》能夠破解哥德巴赫猜想有两个重要原因：（1）能夠获得任意数域、任意区段、任意大小的无穷无尽的顺序素数表。尽管有可能间杂极少量的合数，但並不影响正确结论的获得。无穷无尽顺序素数的获得，是破解哥德巴赫猜想的重要依据和"组合材料“，是破解哥德巴赫猜想的先决条件。沒有无穷的素数，何以表达无穷的"偶数"？（2）在《孙氏素数表》中，无论多么大的自然数都能用N k△（k=0.1.2…）的形式表达出来，无论多么大的偶数2N，都能找到一种算法程序，计算出“N的对称素数合成2N”。如果2N较小时，在计算机算力范围内，还可以把2N内所有“N的对称素数对"一个不漏的计算出来。目前人们只有运用《孙氏素数表》这个有力工具才能完全彻底地证明哥德巴赫猜想。
3.实现黎曼猜想的终极目标。黎曼猜想的提出己有170多年历史，黎曼的Zeta函数是在欧拉积公式的基础上进行解析延拓，而欧拉积公式实际上还是在埃拉托塞尼筛法的基础上，在有限数域N内讨论素数，因此无论人们证明黎曼猜想有多少个非平凡零点都落在1/2直线上，但都不能说明无穷的非干凡零点都落在1/2直线上，因为人们看不到N外素数往无穷方向延伸趋势。这似乎是一条走不通的路。但是黎曼猜想有一个最重要的、人类至今也无法实现的目标结论，那就是素数的运行规律是“横平竖直，齐整有序的”。而当nz100亿时，《孙氏素数表》就是一个规模宏伟壮观的"长城万里素数工程“，实现了黎曼猜想的远大目标。
4.发现《孙氏素数公式》。前面我们说过，当n=n的《孙氏素数表》中排列的数，都与△=[m1m2…mn]沒有非“1"公因子，因此表中只存在三种数：（1）是“±1”（2）是大于mn的素数（3）是“全大于mn的素因子合数"。如果我们令“n级素数表"中排列的大于mn的第一个最小素数是mn 1，则“mn 1平方数"就是"n级素数表“中最小的“全大于mn的素因子合数”，因此排列在"mn 1平方数”以前的数不会再有合数了。一定都是大于mn的素数，为此我们推出《孙氏素数公式》如下：
设从小到大的n个素数的最小公倍数是△=[m1m2…mn]，令mn 1是第n 1个素数，凡小于“mn 1平方数"的任意自然数N，若满足：
（N△）=1
则\N一定是新生素数。
这个结论，结束了2300多年来沒有公式计算素数的历史。
5.发现《孙氏素数极限公式》。上面的《孙氏素数公式》是在"给定数值N内计算素数"的公式，实际上也是黎曼猜想最理想的结果。本节推出的《孙氏素数极限公式》则是在无限延伸的素数等差数列纵队中，也就是在一个完整的自然数体系中几乎100%获得全体素数的公式。设△=[m1m2……mn]，当n≥100亿后，《孙氏素数表》就是一个规模宏伟壮观的“素数工程“，一个不漏地包含了大于mn的全体素数，同时也全覆盖了一个完整的自然数体系。此时自然数中的三种数：即"±1"、“大于mn的素数"以及“全大于mn的素因子合数"与k△（k=0.1.2…）之和均是一个素性趋于100%的素数极限公式，表述如下：
《孙氏素数极限公式》
設由小到大的n个素数的最小公倍数是△=[m1m2…mn]，令mn i表示：（1）“±1“（2）大于mn的素数（3）“全大于mn的素因子合数"。当n≥100亿后，形如：
mn i k△（k=0.1.2…）
的数几乎都是素数。
6.发现同余方程《孙氏链条解》。在探索《孙氏孪生素数表》的过程中，发现同余方程△K≡1（modmn）简捷算法：以mn为模，对△的余数C1进行n次模余再转化到Cn≡±1，则n次模运算的n个商的连乘积：P1P2…Pn就是方程的解，表示如下：
△≡C1→C1P1≡C2→C2P2≡C3→…CnPn≡1（或“-1"）→k≡P1p2…Pn（m0dmn）
此种解法把各个模运算依序连接起来就象一根链条，故称为《孙氏链条解》。比较传统的“大衍求一术"和“欧几里得"算法，省略了多环节多步骤的反向代入程序，此算法能批量快速获得《孙氏孪生素数表》各个等级表的结果，是素性检测和合数分解必不可少的应用工具。
7.证明"任意长的素数等差数列"的存在性。在表1中，假如我们用大于“F291"的100万个素数为模对任意区间的素数等差数列进行素因子检测，我们将在100万项内几乎看不到一个合数因子，这就意味着“100亿级素数表"中的素数等差数列长度几乎都超过100万项，如果我们再把“表1"的n提升到千亿、万亿…还会获得更长更多的素数等差数列，这种提升是无止境的，因此自然数中存在有无穷多的"任意长的素数等差数列"。
8.证明“任意宽广的连续合数区"和“任意宽的素数间距"都是无穷的。从“表1"中我们可以计算出“最大连续合数区"的宽度是：
H=F293-2一=F291=1117689524291
我们还可以计算出素数间距：
d=F293-1=F292
=1117689524292是无穷多。
如果我们变换《孙氏素数表》的等级就会得到以下公式：
H=mn 1-2
d=mn 1-1
这两个公式可以看出最大连续合数区和素数最大间距隨着等级的提升，也是沒有止境的。
9.证明孪生、三生、四生、五生…n生素数的无穷性。前面我们说过，“表1"的首排原生数的素数排列，要从大于“F291"的第一个最小素数“F293”起，按顺序素数排列到（△--1）止，这样长的顺序素数表（只间杂有极少量的合数），必然包含有许多孪生、三生、四生、五生…n生素数组成的素数等差数列纵队，每一组特殊素数等差数列都会以趋于10O%的素数生成概率往无穷方向延伸，从而证明这些特殊间距的素数都是无穷的。
尾声。《孙氏素数表》到底能破解数论领域中多少世界级的数学问题？到底能总结出多少定义、定理、定律和公理化结论？这是我们当前难以统计出来的数据。因为在任意一个“全素数表“中，我们随意抽取任意一个数据，或任意一个区间的“素数排列模式"都有可能是一项突破世界纪录的成果。因此，这是一项巅覆传统的数学理论，确立正确的素数硏究方向，具有广阔开发前景的
难以估量的研究课题。"全素数表“在数学中的影响力，将会象“元素周期表“在化学中的地位和作用一样重要，一样的意义深远。中国人务必要抢先佔领这个阵地，抓住这个千载难逢的科学机遇，填补中国数论的历史空白。中国的数论科学，基本上都是引进西方的数学理论和方法，步西方数论后尘近百年，人们並看不到有什么实质性的重大成果和进展。如果能敞开胸怀，吸收民间普通人士正确的学术观点和方法，采纳来自民间的创新改革意见，“聚四方之气，借八方之力"，广开言路，走“全素数表“的硏究方向，用不了多长时间，就会建立起一整套解决素数问题的“公理化系统"，创建出一整套属于中国人自己的数学理论体系。就能夠系统地，全方位地破解数论领域长期积淀下来的系列猜想和历史遗留问题。在世界上竖立起中国民族数论科学的历史标杆，走出一条具有中国持色的数学发展之路。中国的数论科学，必将在世界上声名鹊起，走向强盛，引领世界。
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