大家好！本文和大家分享一道2011年高考数学真题。这道题是2011年高考全国1卷理科数学的填空压轴题，题干非常简洁，但是题目的难度却不小，在很多班级出现了全军覆没的情况。本文和大家分享2种解法，供大家参考。
解法一：正弦定理＋三角恒等变换
要求AB 2BC的最大值，那么我们需要先将AB和BC表示出来。
由于题干告诉了我们B=60°、AC=√3，所以由正弦定理就可以得到：AB/sinC=BC/sinA=AC/sinB=√3/(√3/2)=2，即AB=2sinC、BC=2sinA。
由三角形的内角和定理可得，A C=180°-B=120°，即A=120°-C。所以AB 2BC=2sinC 4sin(120°-C)。接着用两角差的正弦公式将sin(120°-C)展开，即可得到AB 2BC=4sinC 2√3cosC。
这样就将AB 2BC转化成了关于C的函数关系，而且是一个关于C的“同角异名”的关系，于是此时可以利用辅助角公式，即asinα bcosα=√(a^2 b^2)sin(α ψ)，其中tanψ=b/a。所以AB 2BC=2√7sin(C ψ)，其中tanψ=√3/2。接下来再利用正弦函数的有界性就可以得到答案了。
解法二：坐标法＋基本不等式
以点B为坐标原点，以BA所在直线为x轴，且以射线BA为x轴的正方向建立直角坐标系，设A(a,0)。由于B=60°，所以点C在第一象限，故可设点C(c,√3c)。于是，AB 2BC=a 4c。
由AC=√3及两点间距离公式可得，(a-c)^2 3c^2=3。
接下来就用基本不等式来求a 4c的最大值。
由于约束条件是二次式，而目标函数是一次式，所以我们可以用“万能k法”来求解。
设目标函数a 4c=k，根据所建立的直角坐标系可知k＞0，则a=k-4c，将其代入约束条件(a-c)^2 3c^2=3中，整理后得到一个关于c的一元二次方程，即28c^2-10kc k^2-3=0①。由于三角形ABC是存在的，则方程①有实数根，即判别式△≥0，即(-10k)^2-4×28(k^2-3)≥0，整理得k^2≤28。又k＞0，所以解得0＜k≤2√7，即AB 2BC的最大值为2√7。
这道题还是有一定的难度，但是不管是解法一还是解法二都是高中数学的常考知识点，也是高中生必须要掌握的。
这道题就和大家分享到这里，你学会了吗？
,
