#数学分析# 第一章 实数集与函数
数学分析研究的是实数集上定义的函数，因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质。
第一讲 实数的基本性质1
- 记号与术语：
R：实数集
R ：正实数集
R-：负实数集
Q：有理数集
Z：整数集
N：自然数集
N ：正整数集
∀：任意
∃ ：存在
- 实数的十进制小数表示：
1.任何一个实数都可以用十进制小数表示。
若x属于R ，则x=a0.a1a2……an……
若x属于R- ，则x=-a0.a1a2……an……
其中，a0属于N，an属于{0,1，……9}，n=1,2……
约定 0=0.0000……
2.有限小数x=x=a0.a1a2……ak（ak不等于0），又可以表示为
x=a0.a1a2……a（k-1）（ak-1）99……
x=x=a0.a1a2……a（k-1）9.
若实数都用无限小数表示，则表达式是唯一的。
即，若x=a0.a1a2……an……，
y=b0.b1b2……bn……，
则x=y等价于an=bn，n=0，1,2……
用无限小数表示实数，称为正规表示。
3.Q={x|x=m/n，其中m,n属于Z，n不等于0}表示有理数集。
∀x属于Q，x可用循环十进制小数表示。
一般的，若x=m/n，则x=a0.a1a2……aka(k 1)……a(k p)，其中p<n。
p称为循环节
反之，若x=a0.a1a2……aka(k 1)……a(k p)
4.无理数为无限不循环小数。
- 实数的大小：
定义1，
∀x,y属于R ，若x=a0.a1a2……an……，y=b0.b1b2……bn……，是正规的十进制小数表示，规定x>y等价于a0>b0，
或∃ n属于N，使a0.a1a2……an=b0.b1b2……bn，而a（n 1）>b（n 1）
∀x,y属于R-，规定x>y等价于-x<-y，
∀x属于R ，y属于R-，规定y<0<x，
- 实数的大小关系有以下性质：
1.x>y，x=y，x<y 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立。
2.若x>y，y>z，则x>z，即大小关系具有传递性。
- 实数的四则运算：
有理数集Q对加减乘除（除数不为0）是封闭的；
封闭-是指经过加减乘除运算后仍然是有理数。
实数集R对加减乘除（除数不为0）是封闭的。
封闭-是指经过加减乘除运算后仍然是实数。
对于实数：
（1）∀x,y属于R，λ属于R，若x<y，则λx<λy。
（2）∀x1<x2，y1<y2，则x1 y2<x2 y2。
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