#数学分析# 第一章 实数集与函数

数学分析研究的是实数集上定义的函数,因此我们首先要掌握实数的基本概念与性质。

第一讲 实数的基本性质1

R:实数集

R :正实数集

R-:负实数集

Q:有理数集

Z:整数集

N:自然数集

N :正整数集

∀:任意

∃ :存在

1.任何一个实数都可以用十进制小数表示。

若x属于R ,则x=a0.a1a2……an……

若x属于R- ,则x=-a0.a1a2……an……

其中,a0属于N,an属于{0,1,……9},n=1,2……

约定 0=0.0000……

2.有限小数x=x=a0.a1a2……ak(ak不等于0),又可以表示为

x=a0.a1a2……a(k-1)(ak-1)99……

x=x=a0.a1a2……a(k-1)9.

若实数都用无限小数表示,则表达式是唯一的。

即,若x=a0.a1a2……an……,

y=b0.b1b2……bn……,

则x=y等价于an=bn,n=0,1,2……

用无限小数表示实数,称为正规表示。

3.Q={x|x=m/n,其中m,n属于Z,n不等于0}表示有理数集。

∀x属于Q,x可用循环十进制小数表示。

一般的,若x=m/n,则x=a0.a1a2……aka(k 1)……a(k p),其中p<n。

p称为循环节

反之,若x=a0.a1a2……aka(k 1)……a(k p)

一讲一练数学实数有关概念(数学分析第一讲)(1)

4.无理数为无限不循环小数。

定义1,

∀x,y属于R ,若x=a0.a1a2……an……,y=b0.b1b2……bn……,是正规的十进制小数表示,规定x>y等价于a0>b0,

或∃ n属于N,使a0.a1a2……an=b0.b1b2……bn,而a(n 1)>b(n 1)

∀x,y属于R-,规定x>y等价于-x<-y,

∀x属于R ,y属于R-,规定y<0<x,

1.x>y,x=y,x<y 三者必有其中之一成立,且只有其中之一成立。

2.若x>y,y>z,则x>z,即大小关系具有传递性。

有理数集Q对加减乘除(除数不为0)是封闭的;

封闭-是指经过加减乘除运算后仍然是有理数。

实数集R对加减乘除(除数不为0)是封闭的。

封闭-是指经过加减乘除运算后仍然是实数。

对于实数:

(1)∀x,y属于R,λ属于R,若x<y,则λx<λy。

(2)∀x1<x2,y1<y2,则x1 y2<x2 y2。

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