图一 解方程
怎么才能称出小狗的体重——什么是方程我们用一个例子来说明，比如家里有一个体重计，可以称量人的体重，但是只把一只小狗放上去的话，它没有示数。那么，怎么才能称出小狗的体重呢？方法很简单，抱着小狗称一次，得到一个示数，把小狗放下，又得到一个示数，两个示数的差，便是小狗的体重。这里便用到了方程思想。方程本质上是一个等量关系：小狗的体重 人的体重=小狗和人的体重。
怎么才能计算出小狗的体重——怎样解方程假如我们设小狗体重为x，第一次示数是61.5，第二次示数是55.4，那么便可以列出数学形式的方程了：
61.5=x 55.4
怎样解这个方程呢？既然方程两边是相等的，那么相等的两边加上同样的东西或者减去同样的东西，它仍然相等。比如两边都减到55.4，那么左边变成6.1，右边变成x，这样我们就计算出x的数值了。
图二 思维的远方
二次方程产生的分化——因式分解和公式法当然，刚才解的是最简单的一次方程，在现实生活中，我们还会遇到二次方程。例如x^2 px q=0,p、q都是常数。这样的方程便没有一次方程那么容易求解了。但我们还是学过方法的.。
第一种叫因式分解法，倘若把这个方程分解成两个因子相乘的形式就好办了，比如让它变为(x-a)(x-b)=0，可以方便地求出两个根a和b，并且，可以看出，p=-(a b)，q=ab，这是方程的根与系数的关系。这个关系对于高次方程依然适用，比如，对于分解式(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0，它对应的是四次方程x^4 px^3 qx^2 rx s=0，可以看出，p=-(a b c d)，是所有单项的和，q=ab ac ad bc bd cd，是所有双项的和，r是所有三项的和，r=-(abc bcd cda dab)，s是四项的和，s=abcd，而且，奇次项为负。偶此项为正。
图三 二次方程
有的时候，方程比较复杂，不容易看出怎样因式分解这就要说到第二种解法——公式法。公式法的实质是依靠基本方程x^2=r，这个方程的根直接规定好，然后把其他方程都划归为这样的形式。比如x^2 px q=0，可以采用配方法使之变成(x p/2)^2=(p/2)^2-q的形式，这样就可以直接开方了。它的依据依然是任何一个方程两边同加上或减去同样的东西，乘上或除以一个相等的东西，两边依然相等。上述一般方程解出的结果便是公式，任何一个具体方程，套公式后便可以得到具体的根。使用公式的本质就是把前面公式的推导过程重新推导一遍，所以套公式的结果必然正确，但也必须理解，硬套是会出错的。
图四 三次方程
这是目前我们对于方程的所有了解，以下的所有推论都源自这两种基本理解。
方程组与线性代数含有多个未知数的方程可以联立成为方程组，比如二元一次方程组。对一次方程组的解法研究是诞生了线性代数，并产生一个新的量——矩阵（其实就是一堆数构成的阵列），矩阵的变换和代数运算是线性代数的核心内容。
图五 矩阵计算
高次方程与高等代数仿照二次方程的求解方法，三次和四次方程也可以得到类似的求根公式。一般地，一个高次方程至少有一个根，意味着能从中分解出一个因式(x-a),从而方程也就降低一次，这样，n次方程便有n个根，这就是代数基本定理。
图六 代数基本定理的证明
五次方程与抽象代数在求解五次以上方程的一般公式时，出现了根本性困难，原因是辅助方程的次数更高，这意味着方程不能采取降次的方法求解。对这个问题的研究，其着力点是根与系数的关系。比如，五次方程有五个根，这五个根可以产生5！=120种组合关系，而由这五个根组成的预解式只有区区几个值。后来伽罗瓦引入可解群的概念，进一步完善了阿贝尔的理论。群的概念的引入，预示着抽象代数的兴起。
图七 代数
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