这个问题让我们从曲线的微分开始说起。
1 曲线的微分
比如，有曲线
:
给出
的曲线段:
要找到一个直线段来近似这个曲线段，也就是找到这个曲线段的微分：
此微分的特点是，当
时，越来越逼近曲线段：
2 切线
这个微分其实就是切线。
2.1 最初印象
初学几何的时候，切线是这么定义的：
比如这就是圆、椭圆的切线：
但是这个定义推广到所有曲线上是不成立的：
2.2 割线的极限
我们需要用极限来定义切线。比如说，要求曲线
在
点的切线：
在
附近找一点
，过两点作直线
，这根直线也称为割线：
然后寻找
与
之间的点
，作出割线
：
以此类推，找到点
，作出割线：
把这些割线组成数列：
它的极限
就是切线：
3 导数
刚才只是给出了切线的定义，但是还是不能把切线求出来。下面来看看怎么求。
3.1 斜率
要求
点的切线，知道了
点坐标为
，以及切线的斜率：
其中
，根据直线的点斜式，可求得切线函数
：
就可以得到切线的函数。
3.2 导数
容易有以下推论：
所以来看看割线的斜率怎么求吧。假设要求
点的切线的斜率，随便在附近找一点
作割线：
可以看到当
的时候（这也表明了切线是割线的极限），两者斜率不断逼近：
先把割线的斜率
算出来，假设
：
因此：
根据刚才的分析可知：
这个极限就被称为 导数 。
如果，不光在
点可以作出切线，也就是不光在
点可导，而是在某个开区间
内都可导，这就是 导函数 ：
不少教科书、文档会出现如下的符号，这里也一并引入：
定义
，称之为 D算子 ，导函数可以用之表示为：
有时候写作
，表明对自变量
求导。
算子，英文为“operator”，操作的意思。
算子和函数还是很接近的，只是有以下区别：
在这里，
算子完成了如下函数之间的映射：
4 切线函数与微分函数
好了，咱们有了导数，可以来求切线函数以及微分函数了。
4.1 切线函数
就切线而言，知道要经过
，也知道斜率是导数
，可以用直线的点斜式得到切线函数：
4.2 微分函数
虽然之前一直说切线就是微分，但是微分函数和切线函数有所不同，因为它们在不同的坐标系。让我们一步步来，把这个关键点说清楚。
首先令
，切线函数就变为了：
然后在以
点为原点建立直角坐标系（姑且称为微分坐标系吧）：
以
点为原点建立的微分坐标系中有，
。这样在微分坐标系中切线方程就很简单了：
经过一系列操作终于得到了微分函数：
数学上把一系列操作用一个符号
来表示，也可称为 d算子 ：
微分
算子完成了下列的函数映射：
所以微分函数也写作：
表示把原函数
通过
操作变为了微分函数
，这样也区别了微分函数和
坐标系的不同。
，因为
是变量，所以
实际上表示的是整个
轴：
因为
代表
轴这根直线，而直线的微分，根据以直代曲的思想，其实就是自己，所以：
因此，这就是微分的代数形式：
切线函数和微分函数的区别在于，前者在
坐标系下，后者在
坐标系下：
因为微分的代数形式如上，所以导数也可以记作：
所以导数也称为“微商”，即微分与微分的商。
4.3 微分的自变量、因变量
本节一直都在说，微分是函数：
那么它的自变量是什么，因变量是什么？
微分函数在
坐标系下，令
，换元之后就回到了
坐标系：
可见，自变量是
，因变量是
。
如果不光是求
点的微分，就像导函数一样，求某个开区间的微分，那么微分函数是二元函数：
4.4 微分是线性函数
虽然两者都是直线，但因为所在坐标系不同，所以切线函数和微分函数有一个重大的区别：
这个区别说明：
根据微分是线性函数这点，我们可以很方便地运用线性代数的知识来求解法线函数。
4.5 法线函数
在切点与切线垂直的直线就是法线：
放在
坐标系中，随便找到切线方向、法线方向两个向量：
即（t代表tangent，n代表normal，分别是英文的切线和法线）：
根据线性代数的知识，知道两个正交向量点积为0，因此：
所以：
知道法线斜率，并且知道过
，就可以求出
坐标系下的法线函数：
线性代数的相关知识对理解微积分很有好处，因为微积分的本质是“线性逼近，以直代曲”。
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