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矩阵乘法可以理解为一个特定的线性变换, 比如在 2x2 的可逆矩阵表示就是二维空间的(可逆)变换; 3x3 的可逆矩阵表示三维空间的变换.
这些都是 nxn 型的矩阵, 本节来看看更一般 mxn 矩阵, 也就是非方阵的情况 -- 分两大类：行数小于列数的"矮矩阵"和行数大于列数的"长矩阵".
矮矩阵所谓"矮矩阵"就是 mxn 矩阵 A 的维数 m < n 的情况:
从方程组来说, 就是未知量为 n , 而方程个数 m .
观察要点:
三维空间被压缩为平面;
属于零空间的向量集合被压缩到零向量, 可以认为在变换过程中丢失了一部分信息;
三维空间的基底在变换后落在平面上, 并且坐标分别为(3,1),(1,5),(4,9);
这样矩阵压缩的行为, 当然可以从二维平面到一维直线, 如看下图的变换矩阵(1,2) 的作用下, 线性空间是怎样的变化过程:
观察要点:
属于零空间的向量集合被压缩到零向量;
二维空间的基底在变换后落在数轴上(直线)上, 并且变换后坐标分别为 1 和 2;
类似这样对空间压缩的操作经常被用于对数据的压缩, 比如原始数据维数太大, 就需要找到某种变换将原始高维属性空间降为更低维的空间, 未来再主成分分析 PCA 时候, 我们再来更详细的图形展示.
长矩阵反过来考虑当矩阵 A 维数 m > n 的长矩阵:
这样未知数要比方程数少的情况, 对应的是变换会从低维到高维空间进行的. 比如下面矩阵就是从二维变换到三维空间的映射:
类似, 如果从一维到三维空间的变换矩阵也一定属于长矩阵形状的.
无论是矮矩阵, 还是长矩阵, 这样的非方阵和方阵的一个明显不同是, 对于方阵我们可以计算它的行列式, 如果不是方阵的话，就不行列式这个概念了.
❥ 部分截图出自 3Blue1Brown 的《线性代数 的本质》视频;
❥ 视频可以从 YouTube 和 B站搜索3Blue1Brown 在线观看
上面就是本次图解线性代数所回顾的知识点. 好了, 现在让我们在下一篇的中再见!
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