四边形ABCD为圆内接四边形,求证:AB•CD BC•AD=AC•BD
分析:这个题证法很多,我们今天只须画辅肋线,构造相似三角形,得到相似比,然后进行变换,下面给出证明。
证明,在BD上取一点,使角BAE等于角CAD
在三角形BAE和三角形CAD中,
角BAE=角CAD(做辅助线)
角ABE=角CAD(同弧所对的圆周角相等)
所以,三角形BAE 相似于 三角形CAD(有二个角对应相等的两个三角形全等)
所以AB:AC=BE:CD ①
即AB•CD=AC•BE
看下图,在三角形ABC和三角形AED中,
角BCA=角BDA(周弧所对的圆周角相等)
角ABC=角BAE 角EAC
角EAD=角CAD 角EAC
由三角形BAE相似于三角形CAD,
得 角BAE=角CAD(两个相似三角形的对应角相等)
所以,三角形ABC 全等于 三角形AED
BC:ED=AC:AD(相似三角形的对应边成比例)
BC•AD=AC•ED ②
① ②
AB•CD BC•AD=AC(BE ED)
即AB•CD BC•AD=AC•BD
这个题到现在就证完了。
这是平面几何著名的托勒密定理。有些几个求线段长的问题,应用托勒密定理会变的很简单、
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