微积分有多重要相信大家多多少少心里都有点数，搞数学的不会微积分就跟中学生不会“加减乘除”一样，基本上啥都干不了。牛顿是物理学界的封神人物，然而牛顿还凭借着微积分的发明，跟阿基米德、高斯并称为世界三大数学家，这是何等荣耀？这又从侧面反映出微积分是何等地位？
除了重要，很多人对微积分的另一个印象就是难。在许多人眼里，微积分就是高深数学的代名词，就是高智商的代名词，许多家长一听说谁家孩子初中就学了微积分，立马就感叹这是别人家的天才。其实不然，微积分并不难，它的基本思想甚至是非常简单的，不然也不会有那么多初中生学习微积分的事了。
源于面积我们从小学就学了各种求面积的公式，什么长方形、三角形、圆、梯形等等，然后“求阴影部分的面积”就成了小时候的一块心理阴影。
不知道大家当时有没有想过一个问题：好像我们每学一种新图形就有一个新的面积公式，可是，世界上有无数种图形啊，难道我要记无数种公式么？这太令人沮丧了！
更令人沮丧的是，还有很多图形根本就没有什么面积公式。比如我随手在纸上画一条曲线，这条曲线围成的面积你要用什么公式来算？但是，它确实围成了一块确定大小的区域啊，大小是确定的就应该能算出面积来，算不出来就是你的数学不行，对吧？于是，这个事就深深地刺痛了数学家们高傲的内心，然后就有很多人来琢磨这个事，比如阿基米德。
面对这个问题，古今中外的数学家的想法都是类似的，那就是：用我们熟悉的图形（比如三角形、长方形等）去逼近曲线围成图形的面积。这就好比在铺地板砖的时候，我们会用尽可能多的瓷砖去填满地板，然后这些瓷砖的面积之和差不多就是地板的面积。
阿基米德首先考虑抛物线：如何求抛物线和一条直线围成的面积？抛物线，顾名思义，就是你往天上抛一块石头，这块石头在空中划过的轨迹。如下图的外层曲线：
这条抛物线和直线BC围成了一个弓形（形状像一把弓箭，涂了颜色的部分），这个弓形的面积要怎么求呢？阿基米德的想法是用无数个三角形去逼近这个弓形，就好像我们用很多三角形的瓷砖去铺满这块弓形的地板一样。
他先画了一个蓝色的大三角形ABC（这个三角形并不是随意画的，抛物线在A点处的切线必须跟BC平行。这里我们不细究，只要知道能够画出这样一个三角形就行）。当然，这个三角形ABC的面积肯定比弓形的面积小，小多少呢？显而易见，小了左右两边两个小弓形的面积。
如果我们能把这两个小弓形的面积求出来，加上三角形ABC就可以求出原来大弓形的面积了。但是，如何求这两个小弓形的面积呢？答案是：继续用三角形去逼近！
于是，阿基米德又使用同样的方法，在这两个小弓形里画了两个绿色的三角形。同样的，在这两个小弓形被两个绿色三角形填充之后，我们又多出了四个弓形，然后我们又用四个黄色的三角形去填充剩余的弓形……
很显然，这个过程可以无限重复下去。我们可以用1个蓝色，2个绿色的，4个黄色的，8个红色的等无穷多个三角形来逼近这个弓形。我们也能很直观地感觉到：我们使用的三角形越多，这些三角形的面积之和就越接近大弓形的面积。用三角形的面积之和来逼近这个弓形面积，这我没意见，但关键是你要怎样求这么多三角形（甚至是无穷多个三角形）的面积呢？
这就是阿基米德厉害的地方，他发现：每次新画的三角形的面积都是上一轮三角形面积的1/4。也就是说，2个绿色三角形的面积之和刚好是1个蓝色三角形面积的1/4；4个黄色的三角形的面积之和刚好是2个绿色三角形的1/4，那么就是1个蓝色三角形面积的1/16，也就是（1/4）²……
如果我们把所有三角形的面积都折算成第一个蓝色三角形ABC（用△ABC表示）的面积，那么大弓形的面积S就可以这样表示：
S=△ABC （1/4）△ABC （1/4）²△ABC （1/4）³△ABC……
这东西放在今天就是一个简单的无穷级数求和问题，但阿基米德是古希腊人，那是秦始皇都还没统一中国的年代，什么高等数学更是不存在的，怎么办呢？
阿基米德计算了几项，直觉告诉他这个结果在不断地逼近（4/3）△ABC，也就是说你用的三角形越多，面积S就越接近（4/3）△ABC。于是阿基米德就猜测：如果我把无穷多个三角形的面积都加起来，这个结果应该刚好等于（4/3）△ABC。
当然，光猜测是不行的，数学需要的是严格的证明，然后阿基米德就给出了证明。他证明如果面积S大于（4/3）△ABC会出现矛盾，再证明如果它小于（4/3）△ABC也会出现矛盾，所以这个面积S就只能等于（4/3）△ABC，证毕。
就这样，阿基米德就严格地求出了抛物线和直线围成的弓形的面积等于△ABC的4/3，他使用的这种方法被称为“穷竭法”。
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