杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a b）ⁿ（此处n=0，1，2，3，4，5，6）的展开式中的各项系数，杨辉三角最本质的特征是：
它的两条斜边都是由数字1组成的，其余的数则是等于它"肩"上的两个数之和。
"杨辉三角"出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中。杨辉，杭州钱塘人，中国南宋末年数学家，数学教育家，著作甚多。他编著的数学书共五种二十一卷，著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷、《乘除通变本末》三卷、《田亩比类乘除算法》二卷、《续古摘奇算法》二卷。其中后三种合称《杨辉算法》，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。
《详解九章算法》一书中说道"杨辉三角"图表源于我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）的"开方作法本源图"，这说明我国发现这个表不晚于11世纪。因此，我们把此表也叫"贾宪三角"。贾宪的三角表图和文字描写，仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》中.
利用杨辉三角有两个作用:
数学家们曾研究过各种正整数在杨辉三角这个无限大的数阵中出现了多少次，奇怪的是数学家们找不到在杨辉三角出现的次数超过8的正整数。1971年，在杨辉三角中出现的次数都小于等于N。
在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡（Blaise Pascal, 1623年～1662年）首先发现的，他们把这个表叫做"帕斯卡三角"。不过，这比杨辉迟了近400年，比贾宪迟了600年。由此可见，我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
帕斯卡（1623—1662），法国天才数学家，16岁时写成《圆锥曲线论》，19岁时制造出世界上第一台数字计算器，为概率论、射影几何作出了杰出贡献。
"人是有思想的芦苇"，这是帕斯卡的至理名言1653年，法国数学家帕斯卡在其著作《论算术三角形》中展示了（x 1）ⁿ"的系数表，这个三角形也称为"帕斯卡三角形。"
帕斯卡、笛卡尔、费马、达朗贝尔、拉格朗日、蒙日、傅立叶、泊松、柯西、伽罗华、庞加莱、韦伊、嘉当等，法兰西民族源源不断地诞生了众多伟大的数学家，法国人也以此为傲，仅巴黎以数学家命名的街道、广场、车站等就有百余处。巴黎二十个街区是以阿拉伯数字命名，并以平面几何学中的双曲螺线为序排列。
数学是法国传统文化中最优秀的部分。帕斯卡名著《思想录》被称为法国第一部散文杰作，可以说是一部基督教的诗。我们看看帕斯卡关于空间和时间的冥想：当我想到有限的生命时间，不过是自然界无止境的时间长河中的刹那；当我冥想简促生活的空间，仅只是广阔无边空间的一小角落。我不禁心悸。同时又为我何生于此时而不是无穷的他时，生于此而不是宇宙另一处所而诡异不已。
例1． 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中"杨辉三角"就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右
本题考查了多项式乘以多项式，读懂题目信息并利用好信息是解题的关键，利用了特殊值代入法来化简求值使运算更加简便．
例2．若一个正整数M能表示为四个连续正整数的积，即：M＝a（a 1）（a 2）（a 3）（其中a为正整数），则称M是"续积数"，例如：24＝1×2×3×4，360＝3×4×5×6，所以24和360都是"续积数"．
（1）判断224是否为"续积数"，并说明理由；
（2）证明：若M是"续积数"，则M 1是某一个多项式的平方．
【解析】：（1）因为2×3×4×5＝120，3×4×5×6＝360，120＜224＜360，
所以224不是"续积数"；
（2）∵M是"续积数"，
设四个连续的正整数分别为：n，n 1，n 2，n 3
所以M＝n（n 1）（n 2）（n 3）
变式1. ．一个个位不为零的四位自然数n，如果千位与十位上的数字之和等于百位与个位上的数字之和，则称n为"隐等数"，将这个"隐等数"反序排列（即千位与个位对调，百位与十位对调）得到一个新数m，
（1）请任意写出一个"隐等数"n，并计算D（n）的值；
（2）若某个"隐等数"n的千位与十位上的数字之和为6，D（n）为正数，且D（n）能表示为两个连续偶数的平方差，求满足条件的所有"隐等数"n．
∴D（n）＝8k 4＝4（2k 1）＝a b﹣6，即a b﹣6为4的奇数倍，
∵n的千位与十位上的数字之和为6，
∴1≤a≤6，1≤b≤5，∴a b﹣6＝4，∴a b＝10，
∴a＝5，b＝5或a＝6，b＝4，∴n＝5511或6402．
变式2. 湘一"追逐梦想"数学兴趣小组编了一个"诗•远方"的计算程序，规定：输入数据x，y时，若输出的是代数式称为"诗S"，若输出的是等式称为"远方M"．回答下列问题：
当输入正整数x，y时，得到"远方M"和"诗S"，若"远方M"为2y＝x2﹣1，求证"诗S"：2（x y 1）是完全平方式．（温馨提示：对于一个整式A，如果存在另一个整式B，使A＝B2的条件，则称A是完全平方式，比
有些问题常常不能直接使用公式，而需要创造条件，使之符合乘法公式的特点，才能使用公式。常见的方法是：分组、结合、拆添项、字母化等。
例题4关联了让欧拉想了13年的等式。在印度上婆罗摩复多的《婆罗摩修正历数书》中记有问题：
可用两平方数和表示的两自然数之积，而自然数之积仍可用两平方数和来表示。其后斐波那契在 平方数之书 有更深入且专精的算术研究，因此，丢番图平方
和恒等式又常被称为斐波那契恒等式、
追问：三个平方数和或四个平方数和是否有类似的结论？
三个平方数和表示的情形，人们却没找到类似的，只是发现：
对于四个平方数和表示的情形，1730年欧拉开始接触该问题，潜心研究13年后，于1743年终于找到下面的一个公式：
可以说，寻找公式的渴望是数学和科学发展的驱动力，公式使理论获得可信性，并建立了解决问题的一种模型。乘法公式是在多项式乘法的基础上，将多项式乘法的一般法则应用于一些特殊形式的多项式相乘，得出既有特殊性又有应用性的具体结论。
,
