例 证明：当0<x<π/2时，
【题型分析】：对于函数不等式的证明，除了有直接可以用的不等式外，一般首先考虑的是借助导数判断函数的单调性的方法来验证，其基本思路可以概括为：
(1) 变形需要验证的不等式：基本原则是充分利用题目中的已知条件，尽可能的通过不等式变换，去掉要验证的不等式中的分母、对数、根号等，转换需要验证的描述形式，尽可能的用最简单、基本，而我们非常熟悉的初等函数加减乘法描述，比如幂函数，自然常数为底的指数、对数函数，正弦、余弦函数.
(2) 构造辅助函数：通过移项，将不等式的所有项移项到一侧，一般全部移动到左边，使得右边为0，然后令左边为所需的辅助函数表达式.
(3) 计算端点的辅助函数值，确定所需验证辅助函数的单调性.辅助函数一般在端点处，或者中间有点处为零，对于零端点位置，对于其可取值的范围需要验证单调性的基本原则：
区间左端点为零：在端点右侧函数单调递增，导数值大于0，函数值大于0；导数小于0，函数递减，函数值小于0.
区间右端点为零：在端点左侧函数单调递增，导数值大于0，在端点左侧函数值小于0；导数小于0，函数递减，函数值大于0.
示意图如下：
(4) 求辅助函数的导数，并判断其在相应区间中的符号. 根据辅助函数导数在区间中的符号判定函数图形的单调性，并借助左右端点的函数值来判断函数值的正负，从而验证不等式成立.
【注】第(4)步如果不能直接判断，可考虑对导数中的整体或部分通过另设新的辅助函数继续求导判断导数值的正负和函数的单调性，即重复(1)至(4)步.
【注】对于辅助函数或者其导数的正负性的判定，除了导数法，也可以考虑其他方法，比如泰勒公式法、常用不等式结论等.
依据以上分析步骤，对于这个例题有：
【解题分析一】：由于0<x<π/2时，所以tanx>0，sinx>0，于是验证原不等式等价于验证
于是令辅助函数f(x)为
对函数f(x)求导，有
由于cosx>0，所以由几何-算术平均值不等式，有
并且在0<x<π/2内，由0<sinx<x<tanx，所以有
所以函数f(x)在0<x<π/2单调递增，由左端点x=0处f(0)=0，所以当0<x<π/2时，函数值f(x)>0，即
【解题分析二】也可以等价变换需要验证的不等式，有
于是令辅助函数f(x)为
对函数f(x)求导，有
以上用到：由于0<cosx<1，所以cos3x<cosx，于是1/cos3x>1/cosx，另外就是sin2x/cosx>0，然后借助上面的几何-算术平均值不等式可得两阶导数大于0，由于左端点f’(0)=0，所以f’(x)单调增加，从而f’(x)>0，所以函数f(x)单调增加，同样由于左端点f(0)=0，所以f(x)>0，即
【解题分析三】如果全部转换为正弦、余弦以及幂函数，则有
于是令f(x)为
为此只需要验证
于是g(x)单调递增，且左端点为0，因此g(x)>0，从而有f’(x)>0，即f(x)单调递增，且左端点为0，所以f(x)>0，即原不等式成立.
以上是从构造辅助函数的角度考虑该问题的求解，也希望有感兴趣的学友分享更多更好的解题方法.
相关知识点参考推文：
《函数的单调性判定及其应用》内容小结、题型、典型题与参考课件
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