本文为“2022年第四届数学文化征文活动
为什么圆的面积的导数等于周长？球的的体积的导数等于其表面积？
作者 : 李照
作品编号：061
圆的面积函数是
周长函数是
这二者的关系可以通过导数联系起来
简而言之就是圆的面积的导数等于周长，为什么会这样呢？当半径增加时面积就增加——这可以视为增加了的圆环的面积，比较小的时候，增加的圆环的面积就近似等于长为宽为的矩形的面积。在求面积相对于半径的导数的时，要计算的是的极限，而，并且显然越小和就越接近，所以求在情况下的极限得到的就是半径为的圆的周长。
对于球体的体积和表面积也有类似的结论。球的体积函数是
表面积函数是
这二者的关系可以通过导数联系起来
简而言之就是球的体积的导数等于表面积，为何如此？当球体半径增加时体积就增加——这可以视为增加了的球壳的体积，比较小的时候，增加的球壳体积就近似等于底为高为的柱体的体积。在求体积相对于半径的导数的时，要计算的是的极限，而，并且显然越小和就越接近，所以求在情况下的极限得到的就是半径为的球的表面积。
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048 站在巨人的肩膀上学习数学
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