本次内容不涉及过多超纲的内容，只是对极点极线在解析几何中的基础性应用作简要介绍，极点极线和泰勒公式一样均属于高等数学中的知识，了解这些并不是为了做到对解析几何题目的秒杀，很多时候也根本做不到秒杀，极点极线与圆锥曲线中的切线，切点弦方程，圆系方程以及二次曲线系等都有交集，多了解一些会对整个解析几何的宏观把握有一定的帮助，极点极线的来源以及证明不是本次内容的关键，很多东西直接拿来用就行了。
一、极点极线的定义和由来
极点极线的知识从二次曲线的切线讲起，点和二次曲线的位置关系也有三种，即在曲线外，上，内，若在曲线上，高中阶段要求会求在圆/椭圆/抛物线上某点处的切线方程；若在曲线外，高中解析几何入门直线与圆时就已经学圆的切点弦方程的求法，与此类似的可推广到椭圆以及抛物线中，会求切线和切点弦是解析几何中必备的能力，学有余力者可多了解一些与切线相关的扩展知识，例如蒙日圆等等，相关的链接可参考：
圆的切点弦方程的求法
圆锥曲线中的双切线问题整理
思维训练37.抛物线中的切线问题
蒙日圆与圆锥曲线结合的小应用
极点极线的定义和表示方法，先以椭圆为例，从我们比较熟悉的椭圆上某点处的切线方程的求法来理解极点极线的知识，分别考虑点在椭圆上，外，内时的情况。
切点弦方程为什么和切线方程相同，在上面圆的切线方程中给出了类似证明，用的方程思想，下面给出简要证明：
以上都比较容易理解，能看出无论P点在椭圆上还是椭圆外，都会得到一条相同的直线方程，只是点在椭圆上时这条直线表示该点处的切线，在椭圆外时得到的是切点弦，若点P在椭圆内，此时这个方程代表什么，是过P点的割线吗？
因此，若点在椭圆内，这条直线方程的几何意义为所有过P点的割线与椭圆的交点处切线交点的轨迹。
以上，点P和对应的直线方程就是一组对应的极点和极线，若将点P的位置特殊化，当点P位于x轴时，此时对应的极线是一条与x轴垂直的直线，当点P位于y轴时，极线为一条与y轴垂直的直线，在椭圆中，若点P恰好为焦点时，此时的极线为对应的准线方程。
在椭圆中极点和极限是一一对应的，要学会给出极点求极线，给出极线能快速找出极点，在双曲线和抛物线中均可利用切点切线的方法找到对应的极线方程表达式，若推广到一般形式，极点与之对应的极线方程如下：
二、极点极线的作图方法
以本题为例，A,B是关于原点对称的两个定点，C,D为动点，BD,AC交于点M,连接BC,AD交于点N，延长DC,BA交于点P，则直线NP为极点M所对应的极线,因此在曲线外上的点的极线很容易找，同理P点对应的极线也可用相同的方法找到，如下图：
从上图可知M点的极线经过点N，P点的极线也经过点N，根据配极原则，则N点的极线既经过点M，又经过点P，则PM为N点对应的极线，图示如下：
无论点在曲线外还是内，均可以通过两条弦长围成的四边形找到对应的极线，因此若将三个图像综合在一起，此时会得到一个自极三角形，对应的极点和极线很容易确定出来，如下：
延长四边形交于M,P点，则四边形两条边的交点N,M,P围成一个三角形，此时M点的极线为对边NP所在直线，N点极线为对边MP所在直线，P点极线为MN所在直线，此时△MNP叫做自极三角形。
三、极点极线的性质
高中解析几何无非是点，线，曲线的组合，点和线相对于曲线来说都有三个位置关系，线与曲线会形成交点和割线，线与线之间也会出现交点，有时候在判断基于曲线的点与线的位置关系时可通过极点与极线快速做出判断，常见的题型为三点共线问题，动直线过定点问题和动点在定直线上，在涉及线段长度时也可能会用到极点极线的相关结论。
1.极点和极线一一对应且唯一，共线点的极线必定共点，这里可以用来确定出三点共线问题，图示为：
图示中四条极线交于点P，则四条极线对应的极点共线与P点对应的极线上。
高中阶段证明四点共线可通过斜率或向量的形式证明，难度不大，在此不给出对应的题目。
2.极点极线中的一些线段比例问题
这些线段的比例关系来自于调和点阵的性质，关于什么是调和点阵不是高中阶段需要研究的内容，了解即可，这些性质拿来用就行。
这个结论记的时候可以将字母标成数字，若P,A,Q,B成调和点阵，对应的数字为1,2,3,4，则下面的分母为12,14,13,若B,Q,A,P成调和点阵，对应的数字也为1,2,3,4，下面的分母根据对称也为12,14,13，如果能分清内外分点就不用这样记了。
四、极点极线在高中解析几何中的应用
1.在曲线的两条切割线中证明动直线过定点，题目以2019年全国1理科数学圆锥曲线题为例，这个题目可使用常规方法，也可使用二次曲线系解题，无论哪种均需通过复杂的运算，若使用极点极线，可轻易判断出动直线过的顶点，当然，解题步骤中不可以使用极点极线的方法，关于二次曲线系的使用可参考链接：
二次曲线系解题示范
对二次曲线系方程用法的一点点补充
2.证明动直线过定点
此类问题常以向量的分点比例或者线段的长度比值出现，确定出动点在定点的极线上即可。
3.基于动点的定值问题，此类问题可以看做动点在定直线上的延伸
本题目P点纵坐标为零，因此只需求出Q点的横坐标即可，可知Q点在P点的极线上，P点在x轴上，因此Q点在与x轴平行的直线上，即可求出Q点的横坐标。
总结：极点极线的问题若只是以高中的角度来看并不是太复杂，在高中解析几何中即可用来求切线，切点弦方程，当题目中出现割线的交点时，还可用来确定割线交点的位置，在处理一些动直线过定点和动点在定直线上时很容易将答案直接看出来，但极点极线的应用一般适用于特定题型，高中阶段并不具备普适性，此处只是将极点极线的性质直接拿来使用，更多的性质以及性质的证明在大学高等几何中会学到，此处无需深究。
