二阶常系数齐次差分方程的通解(一般形式的复实)(1)

考研#数学分析&高等数学#关于一般复系数的三次方程的根的分布情况讨论的结论

#引言:对于标准形式的复系数一元三次方程ax^3 bx^2 cx d = 0(其中a≠0),它求根通解区别于标准形式的实系数一元三次方程(以前讲解过它的两种通常解法:卡尔丹诺公式和盛金定理,这里不再赘述。),有时可以参照卡尔丹诺公式和盛金定理,但有时不能严格使用。我们在解标准形式的一般一元三次方程时,同时为了书写方便,限于篇幅,以下参数如何推导详细可见B站“复系数标准形式一元三次方程的求解”内容(阅读时稍有点负责,主要原因是利用4个复系数化为线性方程组——四元一次方程组),引入四个相关复数域参数u、v、m、n(它们均与三次方程的复系数a、b、c、d相关),具体可以表达为:u = (9•abc - 27•a^2•d - 2•b^3)/(54•a^3), 而复数域参数 v = 【3(4a•c^3 - b^2•c^2 -18•abcd 27•a^2•d^2 4d•b^3)】^(1/3)/(18•a^2),同时当复数域参数u和v满足如下关系时,另两复数域参数m、n的值分别表述为:① 当 | u v | ≥ | u - v |(其中符号“| … |”表示两复数和差的模,下面同)时,m = ³√(u v),② 当 | u v | < | u - v | 时,m = ³√(u - v),③ 当 | m | ≠ 0 时,n = (b^2 -3•ac)/(9•am),④ 当 | m | = 0 时,n = 0;复平面坐标系单位圆上与实轴正半轴交点为起始点)逆时针方向三等分点(即模长为1,幅角为2π/3的复常数,也可理解为起始点原点、终点在2π/3方向上的单位向量)对应复常数 ω = cos 2π/3 i • sin 2π/3 = -1/2 i •√3/2,ω^2 = cos 4π/3 i • sin 4π/3 = -1/2 - i • √3/2,ω^3 = 1且满足 ω ω^2 ω^3 = 0;于是原标准形式的一般复系数一元三次方程的复数域根为:x1 = m n - b/(3•a),x2 = ω•m ω^2•n - b/(3•a),x3 = ω^2•m ω•n - b/(3•a)。显然满足根与系数的关系表达式:x1 x2 x3 = - b/a。

而对于一般的一元三次方程 a•x^3 b•x^2 c•x d = 0(其中a≠0),通过代数变量置换(换元令 x = z - b/(3•a)),原一元三次方程总可以消去二次项,变为等价方程 z^3 p•z q = 0,通过待定系数法易知,上述方程中 p = (3•ac - b^2)/(3•a^2),q = (27d•a^2 - 9•abc 2•b^3)/(27•a^3),这样可以解出关于 z 的三次方程必有三复根z1、z2、z3,进而根据 x = z - b/(3•a)得到x1、x2、x3,注意:当一元三次方程判别式 Δ = q^2/4 p^3/27,Δ>0时,方程有1个实根两个复根;Δ = 0时,有 3 个实根,特别地当 p = q = 0 时,有一个三重零根,p,q ≠ 0时,三个实根中有2个相等;Δ<0时,方程有 3 个不等实根,用三角形式可表示为:x1 =2•³√r •cos θ,x2 = 2•³√r • cos (θ 2π/3 ),x3 = 2•³√r • cos (θ 4π/3 ),其中 r = √(- p^3/27),θ = (1/3)• arccos 【- q/(2r)】。类似于二次方程的韦达定理,则关于 x 的三次方程的 3 个复根与原一般形式方程系数关系为:x1 x2 x3 = - b/a,1/x1 1/x2 1/x3 = - d/c 或者为x1•x2 x2•x3 x3•x1 = c/a,x1•x2•x3 = - d/a 。

#据上述引言内容:在实分析中关于复数的有理函数定理,一般形式复系数三次方程: 考察三次方程 z^3 3H•z G = 0,其中H、G均为复数,如果假设给定:该方程有(1)一个实根,(b)一个纯虚根,(c)一对共轭复根。这里不妨假设 H = λ μ • i,G = ρ σ • i 于是我们可以得到下面结论:(a)一个实根的条件 若 μ ≠ 0,则实根为 - σ /(3μ),且满足 σ^3 27λμ^2 -27ρμ^3 = 0,若 μ = 0,则必有 σ = 0,故方程的系数为实数,这种情况可能有三个实根;(b)一个纯虚根的条件 若 μ ≠ 0,则纯虚根为 ρ•i/(3μ),且有 ρ^3 - 27λμ^2•ρ - 27μ^3•σ = 0,若 μ = 0,则ρ = 0,且其根为 y•i,其中 y 值由方程 y^3 - 3λ•y - σ = 0 赋予,此时方程的系数为实数,在这种情况下, 方程可能有三个纯虚根;(c)一对共轭复根的条件 设其共轭复根为 x ± y•i,显然可知方程 3 根和为零,从而由根与系数关系推出第三根一定是 -2x,进而再次推出:y^2 - 3x^2 = 3H,2x(x^2 y^2)= G(根与系数关系),此时 H、G 必为实数方满足条件。

以上每一种情况,我们都能求出一根,用一个已知因式相除(或者叫长除法),将三次方程转化为简单的二次方程,或者能将方程的求解转化为相对简单的实系数三次方程(引言内容有叙述推导,通常可适用卡尔丹诺公式或盛金定理求解。)

附注:在以前讲解标准形式的一元三次方程求解时,曾详细介绍过“卡尔丹诺公式”和中国“盛金定理”,如有异议或疑惑,可以单独沟通讲解。

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