首先我们一起来看一个数列S＝1－1＋1－1＋1………到底等于多少？
第一种：S＝（1－1）＋（1－1）＋………＝0；
第二种：S＝1＋（1－1）＋（1－1）＋………＝1；
第三种：S = 1 − 1 1 − 1 …，
因此1 − S = 1 − (1 − 1 1 − 1 …) = 1 − 1 1 − 1 … = S，
即2S = 1，可得到S = 0.5
那么岂非0＝1=0.5？？？
这一矛盾使当时傅立叶等数学家困惑不解，伟大的数学家欧拉也在此犯下了巨大的错误。不难看出，对于这样问题的抛出，当时数学家大脑是一片“混乱”。之所以会造成混乱的主要原因在于当时分析任何一个问题，都容易忽视很多数学概念，如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性，特别是极限、无穷的数学思想。
在我国著名的《庄子》一书中有言：“一尺之棰，日取其半，而万世不竭。”
指一尺的东西今天取其一半，明天取其一半的一半，后天再取其一半的一半的一半总有一半留下，所以永远也取不尽。从这里我们可以看出我国早期对数学无穷的认识水平。
魏晋时期著名数学家刘徽，他提出用增加圆内接正多边形的边数来逼近圆的“割圆术”，并阐述道：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”意思就是说,圆内接正多边形的边数无限增加的时候,它的周长的极限是圆周长,它的面积的极限是圆面积。这段话体现刘徽对数学无穷的认识、极限的数学思想已相当深刻。刘徽正是以“割圆术”为理论基础，得出徽率，同时也是我国第一个创造性地将无穷思想运用到数学中，
中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家祖冲之运用无穷极限思想，得出了圆周率介于3.1415926与3.1415927之间，这一成果至少领先国外上千年的惊人成果。
在国外，最早关于无限的记载出现在印度的夜柔吠陀（公元前1200－900）。书中说：“如果你从无限中移走或添加一部分，剩下的还是无限。”
早在毕达哥拉斯关于不可公度量的发现及关于数与无限这两个概念的定义中已孕育了微积分学的关于无穷的思想方法。德谟克利特和柏拉图学派探索过无穷小量观念。欧多克索斯、安蒂丰、数学之神阿基米德所运用的穷竭法已备近代极限理论的雏形，尤其是阿基米德对穷竭法应用之熟练，使后人感到他在当时就已接近了微积分的边缘。
认识论说，人的认识一般是由具体到抽象，而这一认识过程从一定角度看也可以说是由有限到无限的迈进，而数学是最具抽象性的学科，这亦足以说明在向无限的迈进中，数学达到的层次是最深入的。
佛语：的一花一世界一叶一菩提，一朵花就是一个宇宙。万物渺小或者宏大，微观世界或者宏观世界，都是一个世界。对于生长在花里的细菌来说，哪就是他们的地球。对于生长的地球之外的比我们更宏大的生物来说，我们的地球只是一个皮球。
数学曰：0与1之间看似是有限的数，却蕴含无限。如0.9，还有0.99，以此类推，蕴含无限个数、无穷个数。
无穷作为一个极富迷人魅力的词汇，长期以来就深深激动着人们的心灵。数学从某种角度上讲是一门研究无限的学科，因为数学证明就是用有限的步骤解决涉及无穷的问题。
无穷或无限，数学符号为∞。来自于拉丁文的“infinitas”，即“没有边界”的意思。它在神学、哲学、数学和日常生活中有着不同的概念。通常使用这个词的时候并不涉及它的更加技术层面的定义。
古希腊哲学家亚里士多德认为，无穷大可能是存在的，因为一个有限量是无限可分的是不能达到极点的，但是无限是世界上公认不能达到的。
12世纪，印度出现了一位伟大的数学家布哈斯克拉（Bhaskara），他的概念比较接近现代理论化的概念。
英国人沃利斯将8水平置放成"∞"来表示"无穷大"符号，首次在论文《算术的无穷大》（1655年出版）一书中提出。
莫比乌斯带常被认为是无穷大符号“∞”的创意来源，因为如果某个人站在一个巨大的莫比乌斯带的表面上沿着他能看到的“路”一直走下去，他就永远不会停下来。但是这是一个不真实的传闻，因为“∞”的发明比莫比乌斯带还要早。
无限符号的等式
在数学中，有两个偶尔会用到的无限符号的等式，即：∞=∞ 1，∞=∞×1。
某一正数值表示无限大的一种公式，没有具体数字，但是正无穷表示比任何一个数字都大的数值。 符号为 ∞，同理负无穷的符号式-∞。
在数学方面，无穷与以下的主题或概念相关：数学的极限、阿列夫数、集合论中的类、戴德金的无限群、罗素悖论、超实数、射影几何、扩展的实数轴以及绝对无限。
在某些领域，无限不是指边界外就没有东西，而是指边界外永远有另一个边界存在，而不是一个数。
如可数集合，如自然数集，整数集乃至有理数集对应的基数被定义为阿列夫0。比可数集合“大”的称之为不可数集合，如实数集，其基数与自然数的幂集相同。
在动漫电影《玩具总动员》中巴斯光年的口头禅：“To infinity and beyond!”(到达无穷，超越无穷)，这句话也可被看作研究大型基数的集合论者的呐喊。
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