作者 | 邵品琮 张景中 于劭

来源 |《数学通报》,1956(05)

当我们想知道一个整数能不能除尽另一个整数时,一般地,除了是用2,3,5,……这些极个别的数去除别的数之外,总得老老实实去除一除。这件工作是很麻烦的。这里介绍一种方法,利用它能判别一个数能不能除尽另一个数,在我们只需要知道一个数能不能除尽另一数而不用知道它们的商时,这个方法是很适用的。

为了说着方便,当然可以假定除数 D和被除数 N都是正的。我们知道,被除数N越小,除起来就越省力;要是我们对于D和N能找到一个比N小的R,使得D|R是D|N的充分必要条件,那问题不是就简单了吗?这里介绍的方法的基本意思,就是给出一个规律,使我们对任意的正整数 D,N,都能找到一个比N小的 R,满足:

D | R D | N

(D|R就是D能除尽R的意思)。

这个规律要是把它叙述成定理的形式,就是这样的:

“D,N都是正整数;N=10a b(10>b,a,b都是正整数)则我们一定能找到一个只和D有关的整数 T,使

D | R= a Tb D | N

(以后把T叫做D的“判别数”)。

这里先看一个例子;证明放在后面。

[例 1] 29 能不能除尽 899?

对 29 取判别数 T=3。

899=10·89 9。 故a=89,b=9。

故:R=a Tb=89 27=116。

29 能除尽116吗?我们可以再化简一次:

116=10·11 6 故 a=11,b=6

因而 R=a Tb=11 18=29。

29是能除尽29的;从而就能除尽116,也就能除尽 899。验算一下,就知道上述结论是对的。

我们要说明一下:对D=29取判别数T=3是对任意被除数N都成立的,这也放在后面证明。

下面证明,对任一除数D,总可以找到判别数T,而且具体地把它找出来:

(1)在D可以表成10n 1的情形下(n正整数),我们取T=-n,则对任意被除数N=10a b,有

D | R= a Tb D | N

证明:

R=a-nb=a-n(N-10a)=

=a 10na-nN=a(10n 1)-nN=

=aD-nN。

因为D=10n 1,所以D和n互素;上面的等式指出:D能除尽 R时D就能除尽nN,因而就能除尽N。反之,若D能除尽N,等式就直接指出:D 能除尽 R。

(2)当D可表为10n 3时(n正整数),取T=3n 1,则对任意的被除数N=10a b,有

D | R= a Tb D | N

证明:

R=a (3n 1)b=a (3n 1)(N-10a)=

=N(3n 1)-30na-9a=

=N(3n 1)-3a(10n 3)=

=N(3n 1)-3aD。

上面的等式指出:若D能除尽R,则D能除尽 N(3n 1)。但是因为D=10n 3=3(3n 1) n,而n和3n 1互素,故D和3n 1 也互素,所以,D就能除尽 N了.若D能除尽 N,则等式直接说明,D是能除尽R的。

一般说来,我们很容易证明下表所列之规律:

设被除数N=10a b,有:

分离因子计算公式(介绍一种简单的因子判别法)(1)

从上表可以看出,例1中对D=29取T=3是正确的。

[例2] 41 是否能除尽 3731?

41=4·10 1,n=4。41是10n 1形式。

因而取T=-n=-4,

R=373 1·(-4)=369.

对 369 再用上述运算:

R=36 (-4)·9=0,

所以,41能除尽 3731。

下面我们采用一种比较简单的写法,如:

分离因子计算公式(介绍一种简单的因子判别法)(2)

故:41 | 3731.

当D中有形式为的因子,而不再包含2及5的因子时(K,S是自然数),我们可以把D是否能除尽N的问题化为能否除尽 N 及能否除尽N的问题了,而其中对形式的因子判别法是众所周知的。

[例3] 问 95 能否除尽 3735?

95=19×5

显然 5|3735.我们考虑19 能否除尽3735:

分离因子计算公式(介绍一种简单的因子判别法)(3)

因19除不尽44,所以19除不尽3735,结果得出结论:

95 不能除尽 3735.

(本文系根据Edwin Brenman, Testing for Divisibility, Scripta Mathernatica 1955 Vol. XXI,No.1,p.88-90 改写)

分离因子计算公式(介绍一种简单的因子判别法)(4)

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