数列极限与函数极限有何异同（你知道数列的极限和函数极限以及无穷大和无穷小及无穷小的比较）

大家好，我是专升本数学学霸，这次我们来讨论数列的极限和函数极限以及无穷大和无穷小那你知道数列的极限和函数极限、无穷大和无穷小以及无穷小的比较呢？没关系，学霸来帮你来了，我来为大家科普一下关于数列极限与函数极限有何异同?下面希望有你要的答案，我们一起来看看吧!

数列极限与函数极限有何异同

大家好，我是专升本数学学霸，这次我们来讨论数列的极限和函数极限以及无穷大和无穷小。那你知道数列的极限和函数极限、无穷大和无穷小以及无穷小的比较呢？没关系，学霸来帮你来了。

一、数列的极限

讲解数列的极限之前，先看看什么是数列？

数列可以看成几何上的分散的动点，看成自变量为正整数为n的函数：

当自变量n依次取1,2,3,4,5，……，n,一切正整数数时，函数值就排列成数列{xn}。

设{xn}为一数列，如果存在常数a，对于任意娅给定的正数ε（不论它多么小），总存在正整数N使得当n>N时，

都成立，那么就称常数a是数列{xn}的极限，或者称数列{xn}收敛于a，记为

收敛数列的性质：

①（极限的唯一性）如果数列{xn}收敛，那么它的极限是唯一。

②（收敛数列的有界性）如果数列{xn}收敛，那么收敛{xn}有界。

③那么存在整数N，当n>N时,都有xn>0或xn<0。

④如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛，且极限也是a。

二、函数的极限

1.定义① 设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定正数 ε（不论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不定时0<|x-x0|<δ时，对应的函数值f(x)满足不等式。

那么常数A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限，记住

②设函数f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，，对于任意给定正数 δ（不论它多么小），总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数值f(x)满足不等式。

那么常数A就叫做函数f(x)当x→∞时的极限，记住

2.性质

①（函数极限的唯一性）如果 x→x0，f(x)的极限存在，那么这极限唯一。

②(函数极限的局部有限性)如果 x→x0，f(x)的极限等于A，那么存在常数M>0和δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)|<=M。

③（函数极限的局部保号性）如果 x→x0，f(x)的极限等于A，且A>0(或A<0),那么存在常数δ>0,使得当0<|x-x0|<δ时，有f(x)>0(或f(x)<0)。

④（函数极限与数列极限的关系）如果 x→x0，f(x)的极限存在，{xn}为函数f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列，且满足xn≠x0（n∈N ），那么响应的函数值数列{f(xn)}必收敛，且（n→∞， f(xn)的极限） = （x→x0，f(x)的极限）。

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求极限时，当 x 趋近于某个数值x0时，先看看f(x)的定义域，如果x0在该定义域有意义，直接代入计算。如果无意义，再看看f(x)式子，式子f(x)是分式，自变量在分母，极限是无穷大。如果是 x趋近于负数，式子是根式，极限不存在。求极限时，当X趋近于无穷大∞时，就直接看式子f(x)，如果式子f(x)是分式，自变量在分母，极限为0；如果式子是整式和根式，极限直接无穷大。

求极限时，如果分子与分母都有自变量，下面就要讲到用无穷大和无穷小的求法。

三、无穷大和无穷小无穷大定义：设函数f(x)在x0的某一去心领域内有定义（或|x|大于某一正数是有定义）。如果对于任意给定的正数 M（不论它多么大），总存在正数δ（或正数X），只要x适合不等式 0<|x-x0|<δ（或|x|>X），对应的函数值f(x)总满足不等式：|f(x)|>M ，那么称函数f(x)是当x→x0(或 x→∞)时的无穷大。记住：

定理：在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么 1 / f(x)为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，那么1/f(x)为无穷大。

2.无穷小

定义：如果函数f(x)当x→x0(或x→∞)时极限为零，那么称函数f(x)为当→x0(或x→∞)时的无穷小。

定理：在指不定的同一变化过程x→x0(或x→∞)中，函数f(x)具有极限A充分必要条件是f(x)=A α，其中α是无穷小。

四、无穷小的比较

无穷小的定义

①如果lim β/α=0，那么说 β是比 α高阶无穷小，记住 β=o（α）；

②如果lim β/α=∞，那么说 β是比 α底阶无穷小;

③如果lim β/α=C≠0，那么说 β是与 α同阶无穷小;

④如果lim β/（α 的 k次幂）=C≠0，那么说 β是与 α的 k 阶无穷小;

⑤如果lim β/α=1，那么说 β 与 α等阶无穷小，记住α~β.

无穷小的定理