在自然科学、工程技术，甚至在某些社会科学中，函数是被广泛应用的数学概念之一，其重要意义远远超出了数学范围。在数学中函数处于基础的核心地位，是贯穿于中学《代数》的一条主线。学好函数，对于学习极限、导数及微积分起到了一定的积极作用，本章节来介绍下四类具有特殊性质的函数。
一、有界性
① 定义：设函数 f(x) 在数集 A 有定义，若函数值的集合 f（A） = { f(x) ∣ x ∈ A} 有上界 （有下界、有界），则称函数 f（x）在
A 有上界（有下界、有界），否则称函数 f（x）在 A 无上界（无下界、无界）。
1、函数 f（x）在 A 有上界 ， 存在 b ∈ R ，对任意的 x ∈ A , 有 f（x）≤ b ；
2、函数 f（x）在 A 有下界 ， 存在 a ∈ R ，对任意的 x ∈ A , 有 f（x）≥ a ；
3、函数 f（x）在 A 有界 ， 存在 M > 0 ，对任意的 x ∈ A , 有 ∣ f（x）∣≤ M 。
注：函数 f（x）在数集 A 有上界（有下界）必有无限多个上界（无限多个下界）。
② 函数 f（x） 在区间 [ a , b ] 上有界的几何意义
有界函数的图像的几何意义
函数 f（x） 在区间 [ a , b ] 上的图像位于二直线 y = M 与 y = -M 为边界的带形区域之内 。
例题1、正弦函数 y = sin x 与 余弦函数 y = cos x 在 R 有界 。
证明：存在 M = 1 > 0 , 对任意的 x ∈ R , 有 ∣sin x∣ ≤ 1 ， ∣cos x∣ ≤ 1 。
例题2、指数函数 y = a^x ( 0 < a ≠ 1 ) 在 R 上有下界无上界；
对数函数 y = LOGaX ( 0 < a ≠ 1 ) 在区间 （0， ∞）即无上界也无下界 。
指数函数 y = a^x ( 0 < a ≠ 1 ) 的图像
对数函数的图象
二、单调性
定义：设函数 f（x）在数集 A 有定义 。
若 对任意的 x1 , x2 ∈ A ，且 x1 < x2 ， 有 f(x1) < f(x2) 或 f(x1) > f(x2) , 称函数 f（x）在 A 严格增加 或 严格减少 。
若 对任意的 x1 , x2 ∈ A ，且 x1 ≤ x2 ， 有 f(x1) ≤ f(x2) 或 f(x1) ≥ f(x2) , 称函数 f（x）在 A 单调增加 或 单调减少 。
例题3、
① 指数函数 y = a^x ，当 a > 1 时，在 R 上严格增加 ； 当 0 < a < 1 时，在 R 上严格减少 , (如上图) 。
② 对数函数 y = LOGaX ，当 a > 1 时，在区间 （0， ∞）严格增加 ；当 0 < a < 1 时，在区间（0， ∞）严格减少 , (如上图) 。
三、奇偶性
定义：设函数 f（x）定义在数集 A 。
若 对任意的 x ∈ A ，有 - x ∈ A , 且 f（- x） = - f（x），则称函数 f（x）是 奇函数 ；
若 对任意的 x ∈ A ，有 - x ∈ A , 且 f（- x） = f（x），则称函数 f（x）是 偶函数 。
注：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y 轴对称 。
例题4、正弦函数 y = sin x 是 奇函数 ；余弦函数 y = cos x 是 偶函数 ，如下图所示 。
正弦和余弦函数图像
证明：
∵ 对任意的 x ∈ R , 有 - x ∈ R ， 且 sin ( - x） = - sin x , cos ( - x）= cos x
∴ 正弦函数 y = sin x 是 奇函数 ；余弦函数 y = cos x 是 偶函数 。
四、周期性
1、定义：设函数 f（x）定义在数集 A 。
若 存在 T > 0 ， 对任意的 x ∈ A ， 有 x ± T ∈ A , 且 f（ x ± T） = f（x），则称函数 f（x）是 周期函数 ， T 为函数 f（x）的一个 周期 。
注：若 T 是 函数 f（x）的周期，则 nT （n是正整数）也是它的周期。若函数 f（x）有最小的正周期，通常将这个最小正周期称为函数f（x）的基本周期，简称为周期 。
2、周期函数的运算性质：
①若T为f（x）的周期，则f（ax b）的周期为 T/|a| 。
②若f(x)，g(x)均是以T为周期的函数，则f(x)±g(x)也是以T为周期的函数。
③若f(x)，g(x)分别是以T1，T2，T1≠T2为周期的函数，则f(x)±g(x)是以T1，T2的最小公倍数为周期的函数。
3、常见的周期函数有：
sinx，cosx，其周期 T=2π；
tanx，cotx,|sinx|,|cosx|，其周期 T=π。
解题提示：判别给定函数f（x）是否为周期函数，主要是根据周期的定义，有时也用其运算性质。
4、例题：
设对一切实数 x，有f（1/2 x）= 1/2 √【f(x)- f^2(x)】,则f（x）是周期为多少的周期函数？
解：f【1/2 （1/2 x）】= 1/2 √【f(1/2 x)- f^2(1/2 x)】
=1/2 √【1/4 - f(x) f^2(x)】= 1/2 【 f(x) - 1/2】
= f(x),(由题设 f(x)≥1/2)
即 f(1 x) = f(x) ,故可知 f(x) 的周期为 1 。
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