01--从勾股数到完美直角三角形
说到勾股数，最先想到的是什么？
勾三股四弦五。
这是最简单的一组勾股数，也是传播度最广的，它几乎是勾股定理的代名词。
所谓勾股数就是指满足勾股定理的三个正整数，即a² b²=c²，其中a，b，c为正整数。
常见的勾股数：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等。
历史上，有很多数学家发明了构造勾股数的公式，构造了各种类型的勾股数：
- 三个连续整数的勾股数。
设三个连续的整数为x-1，x，x 1，
则(x 1)²-(x-1)²=x²，
解得x=0(舍去)，x=4
则三个连续整数的勾股数只有3,4,5这一组。
- 后两个为连续整数的勾股数。
比如5,12,13；7,24,25等。构造公式为，2n 1,2n(n 1)，2n(n 1) 1，其中n为正整数。
- 后两个数为连续奇数的勾股数。
比如8,15,17；12,35,37等。构造公式为，4(n 1),4(n 1)²-1，4(n 1)² 1，其中n为正整数。
- 其他类型的勾股数。
2m，m²-1，m² 1，其中n>1的正整数；
(m²-n²)/2，mn，(m² n²)/2，其中m，n>1为互质的奇数；
2m，m²-n²，m² n²，其中m>n，m，n互质,一奇一偶的正整数；
以勾股数为三边的直角三角形称为完美直角三角形。很显然这样的直角三角形很完美，但并不罕见，有无数个。
02--从完美直角三角形到欧拉砖完美直角三角形，对应于长方形就更有意思一些，即一个长方形其长宽及对角线长均为整数，这样的长方形有无数个。
但是，追求完美是人类的秉性。数学家欧拉对这个问题也产生过兴趣并且进行过研究，他由长宽对角线均为整数的长方形推及到长方体，提出能否找到长宽高及面对角线均为整数的长方体？后来人们把这种长方体叫做欧拉长方体，但人们更喜欢形象地把它叫做欧拉砖。
用字母来表示就是，长方体的长宽高分别为三个整数a，b，c，
则l1=√a² b²，l2=√a² c²，l3=√b² c²也均为整数。
在1719年，一个叫Paul Halcke的会计和工程师找到了“这块砖”，这块砖的长宽高分别为（44,174,240），更神奇的是44² 174²=125²， 44² 240²=244²，174² 240²=267²，即这块砖六个面的对线分别为125,244,267均为整数，这块砖是最小的欧拉砖。很显然棱长为（44n,174n,240n），其中n为正整数，这样长方体仍为欧拉砖。
后来更多的人加入到寻砖之列，功夫不负有心人，又“挖”无数欧拉砖，列举如下：
（85,132,720）
（125,240,252）
（140,480,693）
（160,231,792）
（187,1020,1584）
。。。。。。
再后来，英国一个叫尼古拉斯.桑德森的家伙干脆“挖”到了一座矿。他发明一个构造欧拉砖的公式：由一组勾股数（a，b，c）为基础，经过数学计算，勾兑为a(4b²-c²)，b(4a²-c²)，4abc时，
各面对角线为c^3，a(4b² c²)，b(4a² c²)
下图是按此法构造的一些欧拉砖：
03--从欧拉砖到完美长方体
因为欧拉砖并不稀缺，所以仍有缺憾！为了追求更加完美，有人把眼光投向了欧拉砖的体对角线。如果欧拉砖的体对角线也为整数，岂不更完美吗？
用那块最小（44,174,240）的欧拉砖来试试，其面对角线分别为125,244,267，其体对角线=√44² 174² 240²=5√2929，非整数，可惜啦。
再试一个（104,153,672），其体对角线=√104² 153² 672²=697，
三条面对角线185,680，3√52777，差一丢丢，还有一条面对角线不是整数，更可惜啦。
于是，人们把这样的长方体作为完美的化身，孜孜以求，并且称之为完美长方体。
若长方体的三条棱，三条面对角线，体对角线均为整数，这样的长方体就叫做完美长方体。
即长方体的三条棱a，b，c为整数，
若其面对角线，l1=√a² b²，l2=√a² c²，l3=√b² c²均为整数，
体对角线g=√a² b² c²也为整数，则（a，b，c）为完美长方体。
完美长方体的概念提出之后，无数的数学家，数学爱好者都加入到寻找完美长方体的人流之中，经过几个世纪的寻找，终于每次都与之擦肩而过，失之交臂。因而，完美长方体终成未解之谜。更奇葩的是，时至今日，人们既找不到她，也证明不了她不存在！
直到2009年，这是离她最近的一次。有人找到（271,103,106），其各项指标都符合，三条棱长，三条面对角线，体对角线都是整数。非常遗憾的是它不是长方体，只是一个平行六面体，但人们还是给它取一个好听的名字，叫拟完美长方体。
看完此文，你是否也被她所吸引，加入寻找完美长方体的队伍之中来吧。聪明如你，幸运之神，在向你招手，说不定你能找到她！
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