尺规作图之所以能够在世界范围内流传两千年之久，除了可以深深锻炼一个人的逻辑条理性之外，其实很大的功劳还是因为那最著名的三大作图难题，正因为这三大难题恒久地摆在人们面前久久不能被解决，所以吸引着不同时代的一批又一批数学爱好者的极大热情。
尺规作图
三等分任意角，倍立方，化圆为方。这就是著名的三大尺规作图难题。
什么样子的图形才可以被尺规做出来呢?在作图规则里：
使用没有刻度的尺，仅能传递长度的圆规，以及在有限的步骤内完成。
人们进一步根据直尺和圆规的作图法则，总结出了5条作图公理，类似于欧式几何里的五大几何学公理一样。
- 通过两个已知点，作一直线。
- 已知圆心和半径，作一个圆。
- 若两已知直线相交，确定其交点。
- 若已知直线和一已知圆相交，确定其交点。
- 若两已知圆相交，确定其交点。
这说明任意一个可能尺规作图的问题的每一步都是从这五条作图公理引发出来的，如果你在作图过程中有一步完全跟这五大法则没有关系，那么对不起，你的作法根本就不符合尺规作图。
尺规作图设计
从上面的三大作图法则以及五大作图公理，在经历过漫长的历史之后，人们最终认识到了究竟哪些图形才可以被尺规作出来，那就是某个数是否能够只用二次根式表示出来，这样的数在数学上有个专有名词，就叫尺规数。如果从代数上来分析某个图形能否可以被尺规作出，这条依据就可以很清晰明了地帮助我们解决尺规作图可能性的问题。我们来具体分析一下每个问题的来龙去脉。
对于三等分任意角，注意，这里必须是任意角，而不是某些特定的角，因为有些特定的角三等分的确可以通过尺规来完成的，那样毕竟是少数，并不具有一般性。三等分角问题也是三大作图难题里名气最大的，它看起来也最简单。
相比三等分角，二等分角却出奇地简单
在这个问题没有被彻底解决之前，每一位研究者在刚刚接触到这个题目的时候都会跃跃欲试，看起来并没有什么难度嘛，于是反反复复地去尝试，结果到最后当然也就是没有结果。或者他们的方法都是不满足尺规作图法则的错误作法。在那么久的时间里没有人得出过正确的作法，也很容易会让人认识到会不会这个问题根本就是无解的。就像几百年里人们都没有找到五次方程根式解一样。到了中世纪之后，很多人都怀疑这种作法的可能性，但是没有一个人给出完整的解答。直到1837年，法国数学家汪策尔(Pierre Wantzel)利用伽罗瓦的理论，首次证明了三等分任意角和倍立方的作法不存在，严谨有效并且正确。
第一个系统解决 三等分角 倍立方的 汪策尔
事实上，汪策尔的证明思路和人们曾经判定多项式方程是否存在根式解的依据很类似。总而言之就是一句至理名言：
解法的存在性要对应着这个问题所在的域。
如果不对应那就说明我们希望的这种解法是不存在的。举三等分角的例子来说，
由三角函数公式，我们容易推导出下面的一个方程：
三等分任意角等价方程
假设三等分任意角的作法存在，就相当于上面的方程里，cos(θ/3)可以用关于cos(θ)的二次根式来表示，方程最高次数是3次，可以看出来，这个方程是不可以在二次根式的范围内进行因式分解的，于是，也就不存在我们希望的那种解法了。用比较专业的数学术语来表示，上述方程的域与其扩张的阶数不匹配。也就是说仅仅在二次根式的范围内是找不到解的，必须要到更高级的三次根式下才能找到解，而尺规作图是不能得到三次根式的，于是，三等分任意角就成为不可能的事件了。
倍立方问题
倍立方问题的解决思路也是类似，我们归根到底是没办法作出一条线段，使得这条线段的长度立方是2，因此倍立方问题也是没有解的。
伽罗瓦
这是伽罗瓦群论被世人认可之后，第一次爆发出巨大的能量，把两个虚无漂亮的疑难问题如此简洁干净地解决了。从此群论的重大意义凸显出来，越来越多的数学家们开始研究群论，群论这一门新兴的学科也很快地发展起来了。
还有个问题，化圆为方：
求作一个圆，使得其面积等于已知的一个正方形。
转化到代数上，也就是
化圆为方本质
这个问题还有个很有趣的来历。大约公元前5世纪时，有位叫安那萨哥拉斯的古希腊哲学家认为，太阳是一个燃烧的大火球，而并不是传说中的阿波罗神。这在当时可谓是惊天地的言论，于是，他被毫不留情地被抓进监狱。可是这位哲学家还是死脑筋，固执己见，最后罪行越来越严重，居然被判了死刑。宣判之后，这位同志终于急了，辗转反侧睡不着，有天晚上，他对着又大又圆的月亮遥望，可惜此时并没有酒。他看着看着，就琢磨出一个问题来：能否做个正方形与已知圆形的面积相同？他认为这是个尺规可以完成的问题。可惜，在宣判到执行的这段时间里，他都没有研究出成果来。好在这位同志人缘不错，在他的朋友积极营救之下，他免于执行，无罪释放。出狱之后，他对这个问题更加念念不忘了，于是这个有名的问题也就流传开来了。
尺规作图作开方运算
借用一下之前关于尺规获取开方的作法。我们发现要想做出π的平方根，首先就要做出一个π。于是化圆为方这个几何问题就转换成代数上的，能否只用二次根式做出π。大家对圆周率π再了解不过了，这个数应该是大家印象里最早接触到的无理数了吧。这个数字太特别了，它跟1,2,3。。。不同，它不是有理数，与根号2，根号3也不同，它不是一元二次方程的解。事实上π也不是任何有理数系数多项式方程的根。基于这个非常独特的个性，人们给形如π这样的不是任何有理系数多项式方程根的数起了一个很有逼格的名字——超越数。就是说明这样的数超越了之前所有的数的认知。
无穷无尽的π
不过大家可不要以为，人们是刻意给π强加上超越数的名头，实际上π是根据超越数的定义而被严格证明的。1882年，林德曼(Lindemann)证明了π是一个超越数，也就是说π不可能是任何有理多项式方程的根，也更加不是一个只用有限次二次根式就可以表示的数了。至此，化圆为方问题也宣布解决了。
数学家 林德曼
回顾一下这三大难题，三等分任意角，倍立方，都是因为一个立方根是无法只用二次根式来表示。化圆为方问题的范围更大些，π不仅仅是不能用二次根式表示，事实上也不能用有限的任意次方根来表示。虽然表现形式各异，但是究其本质却完全一样。作法不存在是因为，当前方程解的域与其阶数增长对应不上。
群论破解魔方问题
大约到了林德曼时期，困扰人类两千多年的三大几何作图难题终于解决。这是一个漫长的过程，大家层层推进的结果，但是现代数学界却把三大难题的解决归功于伽罗瓦。直到林德曼取得突破的1882年，伽罗瓦已经去世50年之久了!而且没有任何证据表明，在伽罗瓦5年数学研究生涯里研究过这些问题。但是只要有人对群论有着初步的了解，很容易就能意识到三大问题本质上同源，也都是无解的。
有很多人认为，自从三大作图问题被完美解决之后，初等几何的知识基本上就已经被挖掘殆尽了。但是我相信初等几何学仅仅是在纯数学领域没有新内容了，它肯定还会在别的领域生根发芽并壮大，比如经济学，甚至人口学中，都有各种各样的数学模型存在。
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