有梯形一腰中点时，常过此中点作另一腰的平行线，把梯形转化成平行四边形
例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E为CD中点，EF⊥AB于F，求证：S梯形ABCD = EF·AB
证明：过E作MN∥AB，交AD的延长线于M，交BC于N，则四边形ABNM为平行四边形
∵EF⊥AB
∴S□ABNM = AB·EF
∵AD∥BC
∴∠M =∠MNC
又∵DE = CE ∠1 =∠2
∴△CEN≌△DEM
∴S△CEN = S△DEM
∴S梯形ABCD = S五边形ABNED＋S△CEN = S五边形ABNED＋S△DEM
= S梯形ABCD = EF·AB
有梯形一腰中点时，也常把一底的端点与中点连结并延长与另一底的延长线相交，把梯形转换成三角形
例：已知,如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD于A，DE = EC = BC，求证：∠AEC = 3∠DAE
证明：连结BE并延长交AD的延长线于N
∵AD∥BC
∴∠3 =∠N
又∵∠1 =∠2 ED = EC
∴△DEN≌△CEB
∴BE = EN DN = BC
∵AB⊥AD
∴AE = EN = BE
∴∠N =∠DAE
∴∠AEB =∠N＋∠DAE = 2∠DAE
∵DE = BC BC = DN
∴DE = DN
∴∠N =∠1
∵∠1 =∠2 ∠N =∠DAE
∴∠2 =∠DAE
∴∠AEB＋∠2 = 2∠DAE＋∠DAE
即∠AEC = 3∠DAE
梯形有底的中点时，常过中点做两腰的平行线
例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，E、F分别是AD、BC的中点，且EF⊥BC，求证：∠B =∠C
证明：过E作EM∥AB, EN∥CD,交BC于M、N，则得□ABME，□NCDE
∴AE = BM，AB∥= EM，DE = CN，CD = NE
∵AE = DE
∴BM = CN
又∵BF = CF
∴FM = FN
又∵EF⊥BC
∴EM = EN
∴∠1 =∠2
∵AB∥EM， CD∥EN
∴∠1 =∠B ∠2 =∠C
∴∠B = ∠C
任意四边形的对角线互相垂直时，它们的面积都等于对角线乘积的一半
例：已知,如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O，且AC⊥BD，AC = 4，BD = 3.4,求梯形ABCD的面积.
解：∵AC⊥BD
∴S△ABD =1/2AO·BD
S△BCD=1/2CO·BD
∴S梯形ABCD = S△ABD ＋S△BCD=1/2AO·BD＋1/2CO·BD=1/2(AO＋CO)·BD
即S梯形ABCD=1/2AC·BD =1/2×4×3.4=6.8
答：梯形ABCD面积为6.8.
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