换元法
引入一个或几个新变量,代替原式中的某些量,使得原式中仅含有这些新变量,从而使问题得到简化,然后对新变量求出结果,再代回原变量求其结果,这种解决问题的方法叫作换元法.
换元法是数学中的重要方法之一,它往往和消元的思想联系在一起.换元的实质就是“转化”的数学思想,关键是构造元和设元,理论依据是等量代换.换元的基本方法有:整体换元、局部换元、均值换元、三角换元等.换元法的一般步骤为:设元(或构造元)、换元、求解、回代和检验等.
（1）换元法在整式运算中的应用
初中数学问题中,常见的就是整式运算问题.在整式运算中经常会出现相对复杂的题目,这就需要在解题过程中将结构相同的部分看成一个整体,并用新元去替换它,将综合性强的问题转换成普通问题.
【典型例题】
【思路分析】从题目中可发现,第一个括号中的式子=1-第四个括号中的式子,第三个括号中的式子=1-第二个括号中的式子.所以我们可以把第四个括号中的式子、第二个括号中的式子整体设元.
【答案解析】设2 3 4 … 999=a,2 3 4 … 998=b,则有a-b=999.
所以原式=(1-b)·a-(1-a)b=a-ab-b ab=a-b=999.
【归纳总结】解题之前可以先观察题目,发现并探究相同的式子,然后用字母将相同部分替换,计算相对快捷简便.从此题中还可以发现,每两组括号都会相差999,第三个括号比第一个括号中少了999,第二个括号比第四个括号中多了999.
所以还可以这样设元、换元:设1-2-3-…-998=a,2 3 4 … 998=b,则有a b=1那么原式就变换a·(b 999)-(a-999)b=999(a b)=999.所以换元方法不止一种,可以灵活选择.
（2）换元法在因式分解中的应用
初中数学问题中的重要内容之一就是因式分解.用换元法分解因式,它的基本思路就是将
多项式中的某一部分用新的变量替换,减少因式项数或者降低次数,同时,让隐含的关系清晰地表现出来,从而使运算过程简明清晰.
【典型例题】
【思路分析】认真观察题目的结构,可以发现(x-4)(x 1)=x²-3x-4,(x-2)(x-1)=x²-3x 2,它们的二次项、一次项完全相同,这就具备了换元的条件,使用换元法进行降次处理,就使得分解变得简单易行.在设辅助未知数时,方法比较灵活,如可设x²-3x=a,或设x²-3x-4=a等,一般地,设辅助元为x²-3x-4和x²-3x 2的算术平均式比较简捷.
【答案解析】
（3）换元法在解方程(组)中的应用
掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求,而在解高次方程、分式方
程、无理方程时,要注意方程的特点,创造运用换元法的条件,往往会简化求解过程.
A.高次方程
解一元高次方程的基本思想是降次,而换元法是降次的一种基本方法.用换元法解高次方
程的思路,与用换元法分解因式的思路一致.
【典型例题】
【思路分析】这个方程左边的两个因式中都含有x² 3x,于是解此题可设x² 3x 4=y或
者x² 3x=y,当然与分解因式类似,也可设两个因式的算术平均式为辅助元,不过此题中算
术平均式为x2 3x 9/2,计算并不方便.所以辅助元的选择要根据题意灵活地掌握.
【答案解析】
B.分式方程
运用换元法解分式方程的基本思路是化分式方程为整式方程.
【典型例题】
【思路分析】
【答案解析】
C.无理方程
运用换元法解无理方程的基本思路是化无理方程为有理方程.
【典型例题】
【思路分析】当无理方程的有理式部分与无理式部分所含未知数的项的系数成比例(包括相等)时,把无理式部分设为辅助元.此方程组中存在两组这样的关系,所以需设两个辅助元.用 换元法解方程或方程组,虽然能把复杂的方程(组)简单化,但用此方法必须验根,因为在换元 过程中(特别是分式方程和无理方程)常会出现增根.
【答案解析】
（4）换元法在证明中的应用
换元法在证明中应用广泛,比如一元二次方程根的问题、不等式的证明、几何问题等,证明题利用换元法十分简捷.常采用的方法有增量换元法、均值换元法等.
【典型例题】
【思路分析】因为b c=8,所以b和c的均值就是4,所以b和c的值都在4附近,所以可分别给b,c在4的基础上加上一个变量,这两个变量之和应为0,所以为简便起见,一个表示为t,另外一个则为-t.所以设b=4 t,c=4-t.又因为b,c都大于0,所以可以求出t值的取值范围.到此,设辅助元完成,然后代入换元即可.像这样,若某几个变量之和为一定值,则可求出其均值,则这几个变量都在均值这一常量附近变化,此时,可设这几个变量为该均值加上另外几个变量.新加入的变量之和为0,这种换元方法叫作均值换元法.
【答案解析】
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