你知道微积分吗（无处不在的微积分）

• 史蒂夫·斯托加茨的《微积分的力量》从微积分应用场景入手，解释微积分的作用的同时，展开了一幅数学推动世界变化的画卷，阿基米德，牛顿等大神悉数登场，如果学学数学史的话，相信我们学习数学的时候会有全新的动力和不一样的感受，初读起来觉得科普性比较强，但读着读着就有那种书到用时方恨少的感觉了，所以----做好思想准备……

• >> 19世纪60年代，一位名叫詹姆斯·克拉克·麦克斯韦的苏格兰数学物理学家，将电磁场的基本实验定律改写为一种可进行微积分运算的符号形式。

• >> 他不仅利用微积分预测出电磁波的存在，还解开了一个古老的谜题：光的性质是什么？他意识到，光就是一种电磁波。

• >> 微积分的逻辑就可以利用现实世界的一个真理生成另一个真理，即输入一个真理，然后输出另一个真理。

• >> 数学语言在表述物理定律方面的适当性是一个奇迹，是一份我们既不理解也不配拥有的奇妙礼物

• >> 微积分就是想让复杂的难题简单化，它十分痴迷于简单性。

• >> 微积分成功的方法是，把复杂的问题分解成多个更简单的部分。

• >> 微积分可分为两个步骤：切分和重组。用数学术语来说，切分过程总是涉及无限精细的减法运算，用于量化各部分之间的差异，这个部分叫作微分学。

• >> 重组过程则总是涉及无限的加法运算，将各个部分整合成原来的整体，这个部分叫作积分学。

• >> 有三个谜题促进了微积分的发展，它们分别是曲线之谜、运动之谜和变化之谜。

• >> 无论是在手机上听音乐，在超市激光扫描仪的帮助下轻松结账走人，还是利用GPS设备找到回家的路，我们都是在收获这些研究带来的好处。

• （好奇心和挫败感是一切事情触发前进的动力。）

• >> 微积分就是在这样的背景下诞生的，它萌生于几何学家对圆度的好奇心和挫败感。

• >> 有些几何学家坚持认为“曲线事实上是由平直部件构成的”，这种观点带来了突破性进展。尽管这不是事实，但我们可以假装它是真的。那么，唯一的问题就在于，这些部件必须无穷小，而且数量无穷多。通过这个巧妙的构思，积分学诞生了，这是人们对无穷原则的最早应用。

• >> 我们的创造性假设是，速度不停变化的运动是由无穷多个无限短暂的匀速运动组成的。

• >> 永恒不变的唯有改变，尽管这句话是老生常谈，但它依然是真理。

• ◆ 比萨证明
• >> 把圆想象成一个比萨，然后把比萨切分成无穷多块，最后神奇地将比萨块排布成一个矩形。

• ◆ 除数为0的禁忌

• >> 趋势很明显：除数越小，商越大；当除数逼近0时，商趋于无穷大。这就是我们不能用0做除数的真正原因。胆小之人会说答案是“未定义”，但事实上答案是“无穷”。

• >> 显而易见，0乘以无穷可以得出任意结果：6，3，49.57或者2 000 000 000。从数学上讲，这太可怕了。

• >> 量子力学有一定的发言权。它是现代物理学的一个分支，描述的是大自然在其最小尺度上的行为方式。

• >> 极限尺度是由自然界的三大基本常量决定的，我们无法左右。第一个是引力常量G，它衡量的是宇宙中的引力强度。它最早出现在牛顿的引力理论中，之后又出现在爱因斯坦的广义相对论中，未来也必定会出现在取代这两者的任何理论中。第二个常量ħ反映了量子效应的强度，它出现在海森伯的不确定性原理和薛定谔的量子力学波动方程中。第三个常量是光速c，它是宇宙的极限速度，任何一种信号的传播速度都无法超过c。

• >> 求解出圆周率π的值，是积分学取得的第一次胜利。

• >> 微积分是用无穷来研究有穷，用无限来研究有限，用直线来研究曲线。

• >> 这是对创造性数学研究的诚实描述。数学家不会一下子想到证明方法，而是先产生直觉，再考虑严谨性的问题。高中的几何课程常常忽略直觉和想象力的重要作用，但它们对所有创造性数学研究来说都是不可或缺的。

• ◆ 从计算机动画到面部手术

• >> 创造格里的动画师也是通过反复分割一个多面体，去逼真地模拟他那布满皱纹的额头、隆起的大鼻子和颈部的皮肤褶皱。通过足够多次地重复这个过程，他们就可以使格里的样子符合他的角色设定，即一个能够传递各种人类情感的木偶般的形象。

• >> 自19世纪起，数学家和工程师就开始利用微积分为不同材料建模，研究当这些材料以各种方式被推挤、拉拽或剪切时，它们会如何伸展、弯曲和扭曲。

• >> 他给我们留下了关于物体在杠杆上如何达到平衡状态和在水中如何稳定漂浮的静力学，他是平衡方面的大师。

• >> 阿基米德去世后，关于自然的数学研究也几乎随之消逝，直到1 800年后一个新的“阿基米德”登上历史舞台。

• >> 伽利略登台，为了更清楚地阐述这个奇数定律，我们假设球在第一个单位时间内滚动了一定的距离。然后，在第二个单位时间内，它滚动的距离是第一次的3倍；在第三个单位时间内，它滚动的距离是第一次的5倍。这太令人吃惊了，奇数1, 3, 5, 7…竟然以某种方式存在于物体向下滚动的过程中

• >> 发电机可以产生交流电并把它输送到我们的家中和办公室里，而描述钟摆摆动的方程也可以不加改变地用于描述发电机的旋转。为了纪念这一渊源，电气工程师将他们的发电机方程称为摆动方程。

• >> 1962年，22岁的剑桥大学研究生布赖恩·约瑟夫森做出了这样一个预测：在接近绝对零度的温度条件下，成对的超导电子可以来回隧穿一道难以穿透的绝缘屏障。

• >> 原子钟是伽利略摆钟的现代版本，尽管它和摆钟一样，也是通过计数振动次数来计时，但它追踪的并不是摆锤的来回摆动，而是计数铯原子在其两种能态间来回转换时的振动次数

• >> 时间也可以确定你的位置。GPS的24颗卫星在12 000英里的高空绕轨运行，当你使用汽车上的GPS导航仪时，你的设备至少会从其中的4颗卫星那里接收无线信号。

• >> 对GPS而言，它的工作原理是：当接收器收到来自4颗卫星的信号时，你的GPS设备会比较信号的发送时间和接收时间。这4组时间略有不同，因为这4颗卫星和你之间的距离并不一样。你的GPS设备将这4个微小的时间差乘以光速，就可以计算出你和这4颗卫星之间的距离。由于卫星的位置已知，并且受到极其精确的控制，因此你的GPS接收器可以对这4个距离做三角测量，从而确定它自己在地球表面的位置。此外，它还可以计算出自己的海拔和速度。本质上，GPS是将非常精确的时间测量值转换为非常精确的距离测量值，然后进一步转化为非常精确的位置和运动测量值。

• ◆ 开普勒与行星运动之谜

• >> 行星运行的计算偏差产生了失配，这种失配意味着某个地方出错了，但到底错在哪里呢，是他的理论、数据还是两者兼有？尽管开普勒怀疑数据可能是错误的，但他也没有坚称自己的理论是正确的（回头想想，这种做法很明智，因为他的理论不可能成立；我们现在知道，行星远不止6颗）。

• ◆ 开普勒第二定律：相等的时间，相等的面积

• >> 今天它被称为开普勒第二定律，说的是当行星沿轨道运行时，从这颗行星到太阳的假想连线在相等的时间内扫过的面积相等。

• >> 面对这一连串的问题，源自伊斯兰和印度数学界的大量思想为欧洲数学家提供了一个新的方向，以及一个超越阿基米德去开辟新天地的机会。这些思想将带来关于运动和曲线的新的思考方式，然后伴随着一声惊雷，微分学诞生了。

• ◆ 代数与几何学的邂逅

• >> 第一个突破发生在1630年前后，两位（即将成为竞争对手的）法国数学家皮埃尔·德·费马和勒内·笛卡儿分别将代数与几何学联系在一起。他们的研究工作开创了一个新的数学学科——解析几何，它的中央舞台就是让方程变得生动和具体的xy平面。

• ◆ 方程与曲线

• >> 费马和笛卡儿最先发现了这种奇妙的巧合：含有x和y的二次方程是希腊人研究的圆锥截面的代数对应物，这4类曲线是以不同角度切割圆锥体得到的。在费马和笛卡儿搭建的这个新舞台上，经典曲线像幽灵一样从迷雾中再次现身。

• >> 代数给了几何学一个体系，此时几何学需要的就不再是创造力，而是韧性了。它会把需要洞察力的难题转化为虽然耗时费力但却简单直接的计算，符号的使用解放了头脑，也节省了时间和精力。

• ◆ 函数的作用
• >> 事物的变化方式有三种：上升、下降或上下起伏。换句话说，就是成长、衰退或波动。

• ◆ 对数

• >> 对数用简单得多的加法问题取代了乘法问题。这就是人们发明对数的原因，它们极大地加快了计算速度。这类计算可以把艰巨的乘法问题、平方根和立方根等转化为加法问题，然后在对数表的帮助下得出答案。

• >> 同样地，指数函数可用于为越来越快的增长过程建模，而幂函数可用于为不太剧烈的增长方式建模。对数之所以有用，是因为它起到了跟起钉器一样的作用：撤销另一种工具的作用。具体来说，就是对数撤销了指数函数的作用，反之亦然。

• ◆ 自然对数及其指数函数
• >> 比如，它是投资者和银行家熟知的72法则的基础。想要估算在年回报率已知的情况下，你银行账户里的钱增加一倍所需的时间，就可以用72除以回报率。因此，如果年增长率为6%，那么你的钱将在12（72/6）年后增加一倍。这个经验法则遵从自然对数和指数增长的性质，如果利率足够低，就会行之有效。

牛顿当年因为疫情封闭在家突破微积分成果

• >> 理解不断变化的变化，才是微积分真正的闪光之处。

• ◆ 非线性函数及其不断变化的变化率

• >> 在高中或大学期间，微积分的第一堂课大多讲的都是求导法则，比如，x2的导数是2x，sinx的导数是cosx，lnx的导数是1/x，等等。然而，考虑到我们的目的，理解导数的概念并了解如何将它的抽象定义应用于实践，这些才是更重要的事。因此，让我们把目光投向现实世界。

• ◆ 作为昼长变化率的导数

• >> 昼长不仅在1月份不断加长，而且加长速率越来越快。

• >> 毕加索说：“艺术是让我们认识真理的谎言。

• >> 17世纪下半叶，英国的牛顿[插图]和德国的莱布尼茨彻底改变了数学的进程。他们把关于运动和曲线的思想松散地拼凑在一起，创立了微积分。

• ◆ 恒定的加速度

• >> 对一个从静止状态开始均匀加速的物体来说，它运动的距离与所花费时间的平方成正比。

• >> 牛顿的幂级数给了他一把对付微积分的瑞士军刀

• ◆ 混搭大师

• >> 但我还要说，如果不是站在巨人的肩膀上，牛顿就不可能做到这一切。他统一、综合和归纳了伟大前辈的思想：他继承了阿基米德的无穷原则，他的切线知识来自费马，他使用的小数和变量分别来自印度数学和阿拉伯代数，他用方程表示xy平面上曲线的做法来自笛卡儿的著作，他对无穷的随心所欲的玩法、他的实验精神及他对猜想和归纳的开放性态度都来自沃利斯。他把所有这一切混搭在一起，创造出一种新事物——通用的幂级数法，直到今天我们在解决微积分问题时仍会用到它。

• ◆ 私密的微积分

• >> 1665年夏天，剑桥大学出于防护的目的暂时关闭了校园，牛顿因此回到了他在林肯郡的家庭农舍。在接下来的两年里，他变成了世界上最棒的数学家。

• >> 虽然莱布尼茨发现微积分的时间比牛顿晚了10年，但人们通常认为他是微积分的共同发明者，原因有以下几点。莱布尼茨率先以一种优美和易于理解的形式公布了微积分，并用一种精心设计的简洁符号来表达它，我们至今仍在使用这种符号。

• ◆ 无穷小量

• >> 更加矛盾的是，无穷小量的大小不同。一个无穷小量的无穷小部分还要小得多，我们称之为二阶无穷小量。

• ◆ 偏微分方程与波音787客机
• >> 微积分和计算机为波音公司节省了大量时间，因为模拟一架新样机比制造一架新样机快得多。它们也为波音公司节省了大量资金，因为相比在过去几十年里价格不断飙升的风洞试验，计算机模拟要便宜得多。

• ◆ 无处不在的偏微分方程
• >> 微积分在现代科学中的应用主要体现在偏微分方程的建立、求解和解释上。麦克斯韦方程组是偏微分方程，关于弹性、声学、热流、流体流动和气体动力学的定律也是偏微分方程。
• >> 微观世界的理论——量子力学——同样如此，它的控制方程——薛定谔方程[插图]——也是一个偏微分方程。

• >> 从这个角度看，微积分是用于研究任何事物——任何模式，任何曲线，任何运动，任何自然过程、系统或现象——的想法与方法的庞杂集合，这些事物的变化平稳而连续，符合无穷原则。

• >> 该定义的范畴远远超出了牛顿和莱布尼茨的微积分，并囊括了它的子孙后代：多变量微积分，常微分方程，偏微分方程，傅里叶分析，复分析，以及高等数学中涉及极限、导数和积分的所有其他分支。

• ◆ DNA的缠绕数

• >> 没有连续性假设，就无法使用无穷原则。没有无穷原则，就不会有微积分，也不会有微分几何和弹性理论。

• >> 我希望，未来我们将看到更多将微积分和连续数学应用于天生离散的生物学“角色”的例子，比如基因、细胞、蛋白质和生物学“大戏”中的其他“演员”。我们能从连续体近似方法中获取的洞见实在太多了，以至于不能不用它。