这是百度上看到的江苏省中考几何题。第一感觉就是送分题，为什么老师说很多学生拿零分呢？
江苏省中考几何题
作AE⊥BC，这是第一感觉，因为△ABC是等腰直角三角形，有AE=BE=CE，线段AE可以作为中介利用勾股定律沟通线段AD与线段BD、CD之间的联系。
作辅助线
△AED是Rt△，设AD=a，BD=b，CD=c，则AE=(b c)/2，DE=(b-c)/2，由勾股定理得：((b c)/2)² ((b-c)/2)²=a²，化简即有b² c²=2a²。证毕。
再看老师的解法是类似的，大多数人都会这样去做。感觉没有特别难的地方。
老师的解法
现在给出其他两种解法。如果你是高中生，可以用向量和三角函数来解，这样做也很方便。
第一种方法，用向量来做。
设向量AB=a，向量BD=b，向量DC=c，则
向量AD=a b，
向量DC=(√2丨a丨-丨b丨)b/丨b丨。
设向量
AD²=(a b)²=a² 2ab b²
=a² b² 2丨a丨丨b丨cos135°
=a² b²-√2丨a丨丨b丨
BD²=b²，
DC²=((√2丨a丨-丨b丨)b/丨b丨)²
=2a² b²-2√2丨a丨丨b丨，
所以，2AD²=BD² DC²。
第二种方法，用三角函数来做。如图设线段的长度和角度。
设线段的长度和角度
由正弦定理得
a/sin45°=b/sin(90°-α)=b/cosα，即
cosα=√2b/(2a)。①
a/sin45°=c/sinα，即
sinα=√2c/(2a)。②
由①、②得
cos²α sin²α=(b² c²)/(2a²)=1，即
b² c²=2a²。
总结一下：这个中考几何题不算难题，可以说是送分题。这里给出的向量解法和三角函数解法可以拓展学生的思路，深入领会数学理论对解题的应用。
这里是轻松简单学数学，用最简方法，学最难数学。只要我们数学概念清楚，条条大路通罗马，而且都是捷径。
,
