由于圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且具有旋转不变性，因此有不少题目会出现多解问题，这类题目重在考查同学们对基础知识的掌握与运用情况，它有利于培养同学们严谨周密的逻辑思维能力。如果解题时考虑不严密，理解不透切，形成思维定势，就会漏解，从而造成错误。在圆中解这类问题时，需要利用分类讨论思想，在解题时可以多考虑将圆进行折叠或旋转。
例题1：已知点P到⊙O的最长距离为6cm，最短距离为2cm．试求⊙O的半径长．
分析：分两种情况进行讨论：①点P在圆内；②点P在圆外，画出图形，进行计算即可。
解：①当P在⊙O外时，如图，∵P当⊙O的最长距离是为6cm，最短距离为2cm，∴PB=6cm，PA=2cm，∴AB=4cm，∴⊙O的半径为2cm；
②当P在⊙O内时，此时AB=8cm，⊙O的半径为4cm．
点与圆的位置关系：
设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d。（1）当d＜r是，点P在圆内；（2）当d=r时，点P在圆上；（3）当d＞r时，点P在圆外。
例题2：PA、PC分别切⊙O于A、C两点，B为⊙O上与A、C不重合的点，若∠P=50°，则∠ABC=___________度
分析：根据P点位置分两种情形分别求解．连接OA、OC；①点B在优弧上，根据圆周角定理求解；②点B在劣弧上，根据圆内接四边形对角互补求解．解：分两种情形，如图所示．连接OA、OC．则OA⊥PA，OC⊥PC．∵∠P=50°，∴∠AOC=130°．
①B在优弧上，∠ABC=1/2∠AOC=1/2×130°=65°；
②B在劣弧上，∠ABC=180°-65°=115°．
一条弦对着两条弧，一条优弧，一条劣弧，因此点也可能在优弧或劣弧上，并且得到的两个圆周角互补。
直线与圆的位置关系例题3：已知圆O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心O的距离为3cm，则直线l与圆O的位置关系是__________.
分析：求直线与圆的位置关系，关键是明确直线上一点到圆心的距离恰好等于圆的半径，也就是说直线与圆至少有一个交点。注意本题的重点为“点到圆心的距离”而不是“圆心到直线的距离”。解：∵圆O的半径r=3cm，且直线上存在一点到圆心的距离d=3cm，∴直线与圆至少有一个交点．①当圆与直线有且只有一个交点时，交点到圆心的距离为3cm，此时直线与圆相切．②当直线与圆有两个交点时，交点到圆心的距离为3cm．此时直线与圆相交．∴直线与圆的位置关系是相交或相切．
直线与圆的位置关系：
设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d。（1）当d＜r是，直线与圆相交；（2）当d=r时，直线与圆相切；（3）当d＞r时，直线与圆相离。
例题4：已知⊙O的半径为5 cm，AB和CD是⊙O的弦，AB∥CD，AB=6 cm，CD=8 cm，求AB与CD之间的距离是多少？
分析：先根据垂径定理求出AE、CF的长，然后再根据勾股定理求出OE、OF的长；因为圆心与两弦的位置不明确，所以分两种情况讨论．
解：（1）当两平行弦AB、CD可能在圆心O同侧，如图，AB与CD之间的距离为EF=OE-OF=1cm；
（2）当两平行弦AB、CD可能在圆心O异侧如图，AB与CD之间的距离为EF=OE OF=7cm；
所以AB与CD之间的距离为1cm或7cm.
例题5：若△ABC内接于⊙O，∠AOB=100°，求圆周角∠ACB的度数．
分析：分点C在优弧和劣弧上两种情况，当点C在优弧上时，可直接利用圆周角定理得到∠ACB是∠AOB的一半，当点C在劣弧上时，可以优弧上找点D，则可求得∠ADB是∠AOB的一半，再利用圆内接四边形的性质可求得∠ACB。
解：如图1，当点C在优弧上时，
则∠ACB=1/2∠AOB=50°；
如图2，当点C在劣弧上时，在优弧上找点D，连接DA、DB，
则可得∠ADB=1/2∠AOB=50°，
又∵四边形ACBD为圆的内接四边形，
∴∠ADB ∠ACB=180°，
∴∠ACB=180°-50°=130°，
∴∠ACB的度数是50°或130°．
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