几何问题在国联考的行测考试中出题频率较高,2020年辽宁省考10道题中考查了3道几何问题,因此学好几何问题是十分必要的。今天我们就来探讨一下几何问题中如何求极值。

一、题型特征:

几何极值问题一般在设问中都有“最大”、“最小”字样。平面图形一般讨论周长和面积的关系,立体图形往往讨论表面积和体积的关系。

二、解题方法:

一般此类题型可以通过均值不等式或几何极值性质来解题。

均值不等式可表示为:

初中数学动点和最值(如何解决几何极值问题)(1)

,当a=b时成立。

几何的极值性质可归纳为:

1.周长相等的平面图形,越接近圆,面积越大。2.面积相等的平面图形,越接近圆,周长越小。3.表面积相等的立体图形,越接近球,体积越大。4.体积相等的立体图形,越接近球,表面积越小。

对于几何的极值性质大家可以分成平面和立体两个方面记忆,尽量发挥想象力理解记忆,避免记错记混。

三、题型考法:

1.利用几何极值性质求解最大面积或体积。

【例1】用18厘米长的警戒线围成各种长方形,要求长和宽的长度都是厘米数,则围成的长方形的面积最大是多少?

A. 18平方厘米

B. 20平方厘米

C. 25平方厘米

D. 40平方厘米

【思路点拨】由题意知周长一定,要使长方形的面积尽可能大,则要使形状更加接近圆,也就是让长方形更加接近正方形。长+宽=9厘米,则要求长和宽尽量接近,可使长=5厘米,宽=4厘米,此时面积最大,最大面积为4×5=20(平方厘米)。因此,选择B选项。

【例2】设a、b、c、d分别代表四棱台、圆柱、正方体和球体,已知这四个几何体的表面积相同,则体积最小与体积最大的几何体分别是:

A. d和a

B. c和d

C. a和d

D. d和b

【思路点拨】根据几何最值理论。表面积一定的立体图形,越接近球体,体积越大。立体越对称,越接近球体,则四棱台、圆柱、正方体和球体中,体积最小的是四棱台,体积最大的是球体。因此,选择C选项。

2.利用均值不等式最大面积:

【例3】要建造一个新的矩形鸡圈,如图所示,该鸡圈一面靠围墙,另外三面共使用了200米长的铁丝网,问如果想让鸡圈的面积最大,鸡圈的长和宽比值应为多少?

初中数学动点和最值(如何解决几何极值问题)(2)

A. 1∶1

B. 2∶1

C. 3∶2

D. 7∶3

【思路点拨】本题并不能应用几何的极值性质进行解题,因为长方形的周长并不是固定的,需要利用均值不等式解题。设长为x米,宽为y米,则x+2y=200。长方形的面积为xy,根据均值不等式定理,当且仅当x=2y时

初中数学动点和最值(如何解决几何极值问题)(3)

初中数学动点和最值(如何解决几何极值问题)(4)

取得最大值,此时长方形的面积最大。当x=2y时,鸡圈的长和宽的比值为2︰1。因此,选择B选项。

四、题型小结:

几何的极值性质其实是均值不等式的简化版,只要多加练习就一定能够熟练掌握。

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