海大源唐老师分享
海南MBA考研排列组合解题技巧17种分享
一、分类计数原理和分步计数原理
1.分类计数原理(加法原理)
完成一件事，有n类办法，在第1类办法中有M1种不同的方法，在第2类办法中有M2种不同的方法，…，在第n类办法中有Mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
N=M1 M2 M3 Mn种不同的方法。
2.分步计数原理(乘法原理)
完成一件事，要分成n个步骤，在第1步中有M1种不同的方法，在第2步中有M2种不同的方法，…，在第n步中有Mn种不同的方法，那么完成这件事共有：
N=M1×M2×M3×Mn种不同的方法。
注：分类计数原理分步计数原理区别
分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。
分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件。
二、排列组合公式
1.阶乘
阶乘：一个正整数的阶乘（factorial）是所有小于及等于该数的正整数的积，并且0的阶乘为1。自然数n的阶乘写作n!。
n!=n×（n-1）×（n-2）×（n-3）×...×2×1
阶乘例如：5！=5×4×3×2×1
知道了阶乘，排列组合公式就会计算了。
公式描述：公式中A(n,m)为排列数公式，C(n,m)为组合数公式。
2.排列的定义
从n个不同元素中，任取m(m≤n,m与n均为自然数,下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 A(n,m)或
表示。
排列公式的计算举例。
A（5,3）=5！/(5-3)!=5×4×3=60
（即：从5个里面选3个进行排列，有60种排列方法）
3.组合的定义
从n个不同元素中，任取m(m≤n）个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 或
表示。
组合计算举例：
C（5,3）=A（5,3）/3!=60/6=10
（即：从5个里面选3个进行组合，有10种组合方法）
三、排列组合17种解题技巧
解决排列组合综合性问题的一般过程如下:
（1）认真审题弄清要做什么事。
（2）怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类。
（3）确定每一步或每一类是排列问题(有序)还是组合(无序)问题,元素总数是多少及取出多少个元素。
（4）解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略。
例题小测
例题1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
例题2、有 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法。
例题3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
例题4、有7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法。
例题5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？
例题6、有 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
例题7、有8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？
例题8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？
例题9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数和另外一个奇数之间,这样的五位数有多少个？
例题10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
例题11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？
例题12、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
例题13、在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法。
例题14、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
例题15、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？
例题16、数字30030能被多少个不同的偶数整除？
例题17、 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
1.特殊元素和特殊位置优先策略
例题1、由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数。
解题思路：
（1）先排个位共有
，从1、3、5三个中选一个构成个位。
（2）然后排万位共有
，万位不能为0，个位已经选了一个，只剩下4个数可以选，所以四选1。
（3）最后排其它位置共有
，万位和个位选了2个了，剩下4个数填充到十位、百位和千位，顺序可以打乱，所以从4个数中选择3个进行排列。
由分步计数原理得
=288，即可以组成288种没有重复的五位奇数。
图示：
注意：位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法,若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素.若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置。若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？
2.相邻元素捆绑策略
例题2、有 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法。
解题思路：可先将甲乙两元素捆绑并在内部排列A（2,2）成整体并看成一个复合元素，同时丙丁捆绑并在内部排列A（2,2）也看成一个复合元素，再与其它3个元素进行排列A（5,5）。
由分步计数原理可得共有
=480种不同的排法。
图示：
注意：要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。
3.不相邻问题插空策略
例题3、一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？
解题思路：分两步进行
第一步排2个相声和3个独唱共有
种。
第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种
不同的方法；（插空：在六个空里面，插入4个元素进行排列）。
由分步计数原理,节目的不同顺序共有
种。
注意：元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：（1）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为
（2）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
（3）（插空法）某人射击8枪，命中4枪（无差异），4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 。
4.定序问题倍缩空位插入策略
例题4、有7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定，共有多少不同的排法。
解题思路：(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：
。 (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有
种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有
种方法。
5.重排问题求幂策略
例题5、把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法？
解题思路：完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有
种不同的排法。
注意：允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为
种。
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法。
参考：
6.环排问题线排策略
例题6、有 8人围桌而坐,共有多少种坐法?
解题思路：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法，即7！
图示：
注意：一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有：
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈 ？
参考：120
7.多排问题直排策略
例题7、有8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法？
解题思路：8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排。
前排2个特殊元素有
种,
再排后4个位置上的特殊元素丙有
种,
其余的5人在5个位置上任意排列有
种,
则共有
种。
图示：
注意：一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研究.
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是 。
参考：346
8.排列组合混合问题先选后排策略
例题8、有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法？
解题思路：第一步：从5个球中选出2个组成复合元共有
种方法。
第二步：再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有
种方法。
根据分步计数原理装球的方法共有：
种方法。
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 种。
参考：192
9.小集团问题先整体后局部策略
例题9、用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中恰有两个偶数夹在1,５两个奇数和另外一个奇数之间,这样的五位数有多少个？
解题思路：
把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种A(2,2)排法，再排小集团内部共有A(2,2)A(2,2)种排法，由分步计数原理共有A(2,2)A(2,2)A(2,2)种排法。
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：（1）计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为（ ）。
参考：
（2）5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有（ ）
参考：
10.元素相同问题隔板策略
例题10、有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？
解题思路：
因为10个名额没有差别，把它们排成一排。相邻名额之间形成９个空隙。在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有
种分法。
图示：
注意：将n个相同的元素分成m份（n，m为正整数）,每份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为
。
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？
参考：
11.正难则反总体淘汰策略
例题11、从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的 取法有多少种？
解题思路：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有
,只含有1个偶数的取法有
,和为偶数的取法共有
。
再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有
-9。
注意：有些排列组合问题,正面直接考虑比较复杂,而它的反面往往比较简捷,可以先求出它的反面,再从整体中淘汰。
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种?
12.平均分组问题除法策略
例题12、6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？
解题思路：分三步取书得
种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取A
B,第二步取CD,第三步取EF该分法记为(AB,CD,EF),则
中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD)共有
种
取法 ,而这些分法仅是(AB,CD,EF)一种分法,故共有
/
种分法。
注意：平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以
(n为均分的组数)避免重复计数。
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：（1）将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队, 有多少分法？
参考：
（2）10名学生分成3组,其中一组4人, 另两组3人，但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的分组方法 ？
参考：1540
（3）某校高二年级共有六个班级，现从外地转 入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为______
参考：
13.合理分类与分步策略
例题13、在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法。
解题思路：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究：
只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有
种。
只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员
种。
只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有
种。
由分类计数原理共有
种。
本题还有如下分类标准：
*以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准
*以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准
*以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准
都可经得到正确结果
注意：解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：（1）从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）
参考：34种
（2）3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法（ ）。
参考：27种
14.构造模型策略
例题14、马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解题思路：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有
种。
注意：一些不易理解的排列组合题如果能转化为非常熟悉的模型，如占位填空模型，排队模型，装盒模型等，可使问题直观解决。
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）
15.实际操作穷举策略
例题15、设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法？
解题思路：从5个球中取出2个与盒子对号有
种，还剩下3球和3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒，3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法。得到两种装法。
由分步计数原理有2
种。
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：（1）同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
参考：9种。
（2）给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有（ 72 ）种。（考虑3、4不同色 3、4同色/2）
16.分解与合成策略
例题16、数字30030能被多少个不同的偶数整除？
解题思路：先把30030分解成质因数的乘积形式30030=2×3×5×7×11×13
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个组成乘积，
所有的偶因数为：
趁热打铁，小试牛刀：
模拟题：正方体的8个顶点可连成多少对异面直线（既不相交又不平行的两条线）。
解题思路：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共
,每个四面体有3对异面直线,正方体中的8个顶点可连成对异面直线3×58=174对异面直线。
17.化归策略
例题17、 25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
解题思路：将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法。
这样每行必有1人从其中的一行中选取1人后,把这人所在的行列都划掉，如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有
种。
再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.从5×5方队中选取3行3列有
选法，所以从5×5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有
选法。
注意：处理复杂的排列组合问题时可以把一个问题退化成一个简要的问题，通过解决这个简要的问题的解决找到解题方法，从而进下一步解决原来的问题
其他例题：有10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？
参考答案：
