思想者
有人问一位艺术家是怎么雕刻出栩栩如生的人像来的，艺术家回答说：“拿一块石头来，把多余的部分砍掉就是了。”这就是说，“法无定法”。数学推理也是如此，很难说用什么方法便能解决什么数学问题。但是，艺术家的创造虽无固定模式，他所用的工具却可以一一列举。每种工具也有一定的基本用法。解决数学问题虽无固定模式，但数学推理常用方法却大体可以列出那么几条。不过，使用起来，也就像雕刻家手中的刀凿斧锯，“运用之妙，存乎一心”了。
枚举法——尽掘七十二疑冢
枚举法，就是把要讨论的问题分成若干个具体情形，一一考查，各个击破。我们当然不希望用这种办法做题，但有时没有别的更好的办法，也只有用枚举法了。
例如，要问137是不是素数，只要检查一下，比根号137小的素数是不是137的因数？小于根号137的素数有2、3、5、7、11这五个。逐个验算，都不是137的因数，所以137是素数。
下面一个有趣的问题，也是用枚举法解决的。
在一张纸条上写下两个自然数x和y之和，交给数学家甲。另一张纸条上则写下这两个自然数之积，交给另一个城市的数学家乙。两人都被告知，x、y都是大于1而且不超过40的整数。甲乙两位数学家在电话中讨论。
甲说：“我断定，你不可能知道我手中是什么数。”
乙说：“是的，我不能肯定你的数是什么。”
过了一会儿，甲说：“可是，现在我知道你的数了！”
乙回答说：“那我也知道你的数了。”
现在请问，x、y各等于多少？他们两人又是如何知道对方手中的数字呢？
从反面想，如果乙手中的数是两个素数之积（如6=2×3，9=3×3，15=3×5），乙马上可以猜出甲手中是这两个素数之和。甲能断定乙不知道他手中的数，可见甲手中的数不能写成两个素数之和。因此我们便知道（乙也知道）甲手中的数不外是：11、17、23、27、29、35、37，七种可能。让我们一一分析各种情形：
如果甲手中是37，因37=2 35=3 34=...，故乙手中可能是2×35=70，3×34=102，等等。如乙手中是70=7×10，乙有可能猜甲手中是17。如乙手中是102=6×17，则可能猜甲手中为23。总之，两种情形之下乙都可能猜错。故甲从乙的“不能肯定”无法确定乙手中是70还是102，或别的。然而甲知道了，故甲手中不是37。
同理，若甲手中是35，35=33 2=13 22=...，乙手中可能是33×2=66，13×22=286......若为66=6×11，乙可能猜甲为17，若为286=26×11，乙可能猜37。两种情形都会猜错。甲无法知道乙是66还是286。故甲手中不是35。
同理，29=24 5=20 9...，乙手中可能是24×5=120，20×9=180，...而120=8×15，180=12×15，乙可能错认为甲是23或27。故甲手中不是29。
同理，23=20 3=15=8。再由3×20=60=12×5，而5 12=17；15×8=120=24×5，而24 5=29。得甲非23。
同理，17=15 2=14 3，再由15×2=30=5×6，而5 6=11；14×3=42=2×21=23。故甲非17。
剩下一种可能：甲手中是11。由于11=2 9=3 8=4 7=5 6，
故甲可以判断乙手中不外是2×9=18，3×8=24，4×7=28，5×6=30四种情形。
若乙手中是18，18=2×9=3×6，故乙只能猜甲为2 9=11或3＋6=9，而9是不可能的，于是乙能肯定甲是11。但乙说他不能肯定，故乙非18。
同理，若乙手中是24=3×8=4×6=2×12，乙可猜甲是11、10、14，而10和14不可能，乙知甲是11。这不可能，故乙非24。
同理，有28=4×7=2×14，而甲不可能是14 2=16，乙知甲是11。这不可能，故乙非28。
最后，若乙手中是30=5×6=2×15=3×10，乙可能猜甲手中是11或17（13不可能），这两个可能性都存在。因而乙不能断定甲手中的数是什么。这时，甲在乙表示“不能肯定”时断言乙手中是30。
甲能断定乙手中是什么之后，乙也知道了甲手中只能是11。
这个题目解起来，淋漓尽致地使用了枚举法。
注释：这个艺术家是罗丹。奥古斯特·罗丹（Auguste Rodin，1840年11月12日—1917年11月17日），法国雕塑艺术家。主要作品有《思想者》《青铜时代》《加莱义民》《巴尔扎克》等。
运用之妙，存乎一心是一个成语，意思是指运用得巧妙、灵活，全在于善于动脑筋思考，出自《宋史·岳飞传》：“阵而后战，兵法之常；运用之妙，存乎一心。”岳飞没有留下兵法，却留下了“运用之妙、存乎一心”的兵法要诀。
毛泽东《论持久战》：古人所谓“运用之妙，存乎一心”，这个“妙”，我们叫做灵活性，这是聪明的指挥员的出产品。
摘自：院士数学专辑《漫话数学》，张景中、任宏硕著。
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