在三角形中三个角 α β γ=180°，若下列等式成立：
证明该等式是α，β，γ中有一个角为90度的充分必要条件。
证明1： 若满足给定等式的必要条件很容易证明，假如α=90°，那么有
必要条件证完。
现在证明充分条件：即有已给的余弦平方和等于1，证明有一个角是90度。
这里要用到三角的倍角公式：
将等式
进行重组：
利用倍角公式转换为：
接着前两项再用和差化积公式：
有:
由于三角形三角之和有α β γ=180°，所以cosγ=−cos(α β), 带人后提取公因式：
cosγ (cos(α−β)−cosγ)
= cosγ (cos(α−β) cos（α β）)
而后面括号中的式子利用和差化积公式cos(α−β) cos(α β)=2 cosα cosβ可知：
cosγ cosβcosα=0
由此得知三个因子中必须有一个为零，假如cosβ=0， 那么β=90°
这样证得充分条件是成立的。
证法2；必要性证明：不失一般性设α=90°，
在前面本人一篇文章直角三角形的充分必要条件是三个角的正弦平方和是2.有证明：
所以
下面证明相反的，即充分条件，假设d是三角形外接圆的直径，
结合下面图形，请读者自己理解推导过程：
由此推出A， B， C中有一个角为90度。
,
