如果地球突然停止绕日公转，我知道它会立刻被太阳引力拖走并与太阳碰撞。那么地球与太阳碰撞要花多长时间？我猜想它一开始会很慢，接着会逐步加速。
地球与太阳相撞大约需要两个月时间（是的，没错，它下落的过程中一开始会比较慢，接着会逐步加速）
我是如何获得这个数据的？有三种方法：一是精确计算（过程又长又无聊而且还掺杂了积分），另一种方法是用一种包含了轨道物理学灵巧的小技巧（后文会有介绍），第三种方法是用“粗略计算”或者“数量级”的方法来估计，这就需要你用你的直觉来简化问题，从而使得你可以不经过巨量数学计算就能粗略地猜到问题的答案。
物理学家和天文学家总是会用到粗略计算，在这种情况下（像其它情况），粗略计算可以做得十分出色！所以，我认为仔细检查一些细节是很有必要的。
开始粗略计算最简单的方法就是先列出所有可能影响问题答案的因素。要想出不会影响答案的因素挺简单的，举几个比较傻的例子：新泽西州六个月前的中奖号码、瑞士的天气、地球开始坠向太阳的日期，等！但是还是有些令人信服的可能影响答案的因素，它们有可能是太阳和地球的一些物理属性，比如说太阳拖动地球时的重力。所以我们需要为它们列一个表。（如果你想自己试试，那就在阅读下文之前赶紧去自己列一张表。）
很明显的，表上必须要有如下两种因素：
·太阳的质量（我们管它叫M）；如果太阳的质量变大，那么它拖动地球的重力也就会变大，地球就会更快地下落。太阳质量大约为1.99X10^33克（约地球的33万倍）。
·地球与太阳之间的距离（我们管它叫R）；如果这个距离增加，地球在碰撞之前就会走更远的路，所以坠落过程就会花费更长的时间。日地距离大约为1.5亿千米。
还有可能影响问题答案的第三个因素，如果你没有一些物理学基础的话可能它的重要性就不会那么明显（但是它是十分重要的）：
·牛顿万有引力定律常数（我们管它叫G）；这是一个决定了宇宙间物质与其它力相比的重力的大小的物理量。它的数值为6.67X10^-8N·m^2/kg^2
·（它的单位相当搞笑“牛平方米每千克平方”）。我敢保证在所有和重力相关的物理学问题中，G总是会在某些地方突然冒出来，所以我们在此将其列出来。
你还能想到除了这三者之外（M、R和G）有可能影响结果的因素吗？反正我是找不到！在本文的底部，我会列举出一些其它可能因素并解释它们为什么不重要，但是现在，我们只需要用这三个数据来计算地球撞太阳的时间就够了。
粗略计算的魅力在于你只要掌握了关键数据，你就离解决问题的答案不远了！因为我们知道最终的答案肯定是以时间为单位的（例如：秒、分钟、月等），我们真正需要做的是找出一种将M（质量单位）、R（长度单位）和G（“长度的立方除以时间的平方再除以质量”的单位）以数学方式结合起来的方法，它会给出一个时间单位，因为我们寻找的这个最终的公式就是要将三个数量结合起来并最终导出一个以时间为单位的结果。
如果你愿意，你可以自由组合这三个数量并试着找出一个能导出时间单位的公式。这或许可以帮助你记忆我们上文所提到的物理直觉，我们认为增加G和M（也就是增加重力）会缩短坠落的时间，同时增加R会延长时间。为了让其起作用，G和M（上升到某一次方）必须在等式中以分母的形式出现，同时R（上升到某一次方）必须出现在分子中。
如果你组合这三个变量，你最终会发现只有这个等式满足上文所述的条件:时间= ( R3 / GM)1/2
（在这里，上标“1/2”的意思是给括号里的数值开方。）这个公式需要我们用粗略估计。有必要纠正这个公式吗？不，不完全是。可能会有一个数字在此公式前与之相乘，而且不经过完整的计算我们是无法得出这个数字的。不过，类似这样的简单问题，前面的数字应该不会很大；天文学家们喜欢说前置等式是有效的“数量级”。它或许不能给我们一个准确的答案，但是可以给我们一个足够接近的评估目的。
如果我们把M、R和G的变量加入这个公式，你会得到一个5百万秒的数据，也就是大约58天。它与真实答案有多接近呢？如果你经过复杂的积分来计算地球在坠落太阳时的每一个点的位置的话，你的公式要做出如下改变：时间=1.1( R3 / GM)1/2
所以两个公式仅仅在精确度上相差了10%，这很棒！真正的答案是大约65天，但是估算的结果也很不错，大约两个月，正如我在本文开始说的。
说明：：一些读者可能会对上述讨论和粗略估计法提出异议。如下是一些可能被提出的问题：
粗略估计法是万无一失的吗？不，在比这个更难复杂的问题中，可能不止有一种方法能将所有的变量结合在一起得出正确的单位。它之所以管用是因为这个问题很简单（只有三个变量：M、R和G），没有其它变量可以夹杂在公式中。如果你有一定物理学基础，还可以在涉及领域更广阔的情况中使用粗略估计法。举个例子：在本文所讨论的问题中，你可以在地球坠向太阳的路线上选取两个点，并用能量守恒定律来估算出正确的公式。试试并看看你能得到什么！答案：如果你选取起点和“中点”，那么根据能量守恒定律，公式就会变为GM/R = V2/2，V是地球在中点时的速度。当然，我们知道地球的速度在其开始坠落时就会增加，所以很难在随意给定一个点得出其具体速度，但是如果你讲V估计为“R除以时间”，你将会得出如下公式：时间=0.7 ( R3 / GM)1/2
其数量级和上文中的公式相同。在这种情况下使用它将会得出一个较不精确的答案（比一个月稍微多一点而不是两个月），但是其对数量级的估计仍有价值——这个计算仍然很好，它告诉你至少地球不会在几个小时内撞击太阳或者等上几百年才能撞击太阳！
想要了解其他计算问题的结果的方法（包括完整的积分学计算方法，还有包含了轨道物理学的简单计算方法）、（包含了轨道物理学的方法的确是解决此问题的一条捷径，但是它并不是完全适用于其他估算的问题中。理论上，地球的一半轨道会变得极其瘦长，长度应该等于日地距离，接着你就可以用开普勒定律计算出撞击时间为0.55/2年，大约为65天。）
为什么我们不必担心除过M、R和G之外的其它变量？不必多加思考，你首先肯定会想到一些其它影响结果的因素，比如地球的质量、地球和太阳的大小。然而，如果我们查阅数据，我们就会发现这三者相当微不足道。地球的质量大约为5.97 x 1027克（约59万亿亿吨），不足太阳质量的几十万分之一！所以其重力和太阳相比在整个问题中显得微不足道（还有，如果你了解一些基本的物理学的话，地球下落时的加速度与地球质量无关，所以相同的，在真空状态下一根羽毛和一个锤子下落的加速度也是相同的）。
同样的，地球的半径大约为6371千米，太阳的半径大约为6.96 x 1010厘米。它们分别是日地距离的24000分之一和215分之一！所以，举个例子，虽然你在理论上是正确的，假想情况的确是地球落到太阳表面所花费的时间要比落入太阳中心的时间要短，（太阳的大部分质量都位于核心，正如我们上文已经计算过的那样），结果表明这两种情况的差距小到可以忽视。不仅是因为“额外的距离”仅仅是全部路程的215分之一，而且地球那时所获取的巨大的速度也进一步缩小了这个差距。等到地球接触太阳表面的时候，地球的速度是非常快的，所以和下落过程所花的全部时间（大约几个月，见上文）相比，地球从太阳表面再进入太阳核心的这段距离所增加“额外的时间”是十分短的（大约也就几分钟）。
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